2.2.3 直线的一般式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.3　直线的一般式方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合教材实例了解关于x，y的二元一次方程与直线的关系． 2．根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线方程的几种形式． 重点 难点 重点：直线的一般式方程的建立． 难点：直线方程的几种形式之间的关系，灵活利用直线的几种形式解决问题. 1．直线的一般式方程 (1)概念 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)几何意义 ①当B≠0时，－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)． ②在Ax＋By＋C＝0中，若B＝0，A≠0，则x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线；若A＝0，B≠0，则y＝－，它表示一条与x轴平行或重合的直线． 2．直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直x轴和y轴 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 (1)直线的一般式方程与其他形式方程之间可以相互转化，直线方程的最终结果一般用一般式方程表示． (2)方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不同时为0，即A2＋B2≠0. (3)直线的一般式方程看似含有待定系数A，B，C，实际上只需求出－，－(B≠0)就可以确定直线的方程． (4)若题中无特殊要求，则把所求直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分． 1．直线2x＋y＋4＝0的斜率k＝(　 ) A．2 B．－2 C. D．－ 解析：选B　A＝2，B＝1，则斜率k＝－＝－2，故选B. 2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　 ) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：选D　由于A，B不同时为0，即A2＋B2≠0，故选D. 3．(多选)下列命题中，正确的是(　 ) A．二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 解析：选AB　二元一次方程能表示所有直线，故A正确；当C＝0时，点(0,0)显然满足方程Ax＋By＝0，说明直线过原点，故B正确；当C＝0时，直线与y轴重合，故C错误；当直线与坐标轴平行或重合时，不能化为截距式或斜截式，故D错误．故选A、B. —————————————————————————————————— 直线的一般式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． [解]　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. [方法技巧] (1)直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可推导出直线方程的四种形式．这四种形式既各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定． ①若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于x轴的直线的斜率为0，垂直于x轴的直线的斜率不存在． ②若已知直线的斜率，通常用斜截式． ③若给出两个点，常考虑两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． ④若给出条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． (2)点斜式和斜截式是最常用的两种形式，但要注意讨论斜率存在与不存在两种情况，防止漏解．