2.2.2 直线的两点式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.2　直线的两点式方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线的两点式与截距式方程． 重点 难点 重点：直线的两点式方程的建立． 难点：应用直线的两点式与截距式方程解决有关问题. (一)两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用条件 斜率存在且不为零 在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式＝(x1≠x2，y1≠y2)通过交叉相乘转化为整式形式(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)，在得到的方程中，包含了x1＝x2或y1＝y2的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由x1，x2和y1，y2是否相等引起的讨论．若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式． 1．判断正误 (1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示．(　 ) (2)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．(　 ) (3)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．经过两点(－1,2)，(－3，－2)的直线的方程是(　 ) A．x－2y＋5＝0 B．x－2y－5＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x－y＋4＝0 解析：选D　根据直线的两点式方程，得＝，化简整理，得2x－y＋4＝0，故选D. (二)截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 (1)截距式方程应用的前提是截距存在且均不为0，即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程． (2)若直线在两坐标轴上的截距(记为a，b)相等，即a＝b，则k＝－1或直线过原点，故常设此直线方程为x＋y＝a或y＝kx. (3)截距并非距离，截距相等的情况包括截距为零的情况． 1．在x轴和y轴上的截距分别为－4和5的直线方程是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 2．已知过点M(1,2)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若M为AB的中点，则直线l的截距式方程为____________． 答案：＋＝1 —————————————————————————————————— 直线的两点式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3，所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [拓展]　 若本例中已知条件不变，将结论改为“求BC边的垂直平分线所在的直线方程”，如何求解？ 解：kBC＝＝－， 则BC边的垂直平分线的斜率为， 又BC的中点坐标为， 由点斜式方程可得y＋3＝， 即10x－4y－37＝0. [方法技巧] 已知直线上两点的坐标求直线方程的策略 (1)若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得(一般要把方程化为整式形式)．代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系． (2)若点的坐标中含有参数，要注意对参数的讨论． 一般地，在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式先求出斜率，再用点斜式求直线方程． [对点训练] 1．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为(　 ) A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0 C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝0 解析：选B　由两点式，得＝，化简整理得5x－3y－25＝0.故选B. 2．已知直线l经过点A(1,0)，B(m，1)．求直线l的方程． 解：由于直线l经过A(1,0)，B(m,1)．因此直线l的斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. ————————————