2.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.1　直线的点斜式方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线的点斜式与斜截式方程． 重点 难点 重点：直线的点斜式方程的建立． 难点：直线点斜式与斜截式方程的应用. (一)点斜式方程 1．点斜式 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．特殊的直线方程 直线l过定点P(x0，y0)， (1)当直线l的倾斜角为0°时，直线l与x轴平行或重合，方程为y－y0＝0，即y＝y0. (2)当直线l的倾斜角为90°时，直线l没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，方程为x－x0＝0，即x＝x0. (1)使用直线的点斜式方程的前提：①已知一点P0(x0，y0)；②斜率k必须存在．只有这两个前提都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P0(x0，y0)的一条直线，y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 1．过点M(－3,1)，斜率为2的直线方程是(　 ) A．y＝2x＋7 B．y＝2x－7 C．y＝－2x＋7 D．y＝－2x－7 答案：A 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　 ) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(－1,2)，斜率为1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1 答案：C (二)斜截式方程 1．截距 我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式方程 (1)定义：我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． (2)k和b的几何意义 k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． (1)斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在． (2)方程y＝kx＋b的形式特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． (3)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零． 1．已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为(　 ) A．y＝－x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案：C 2．直线y＝3x－2在y轴上的截距是________． 答案：－2 ————————————————————————————————— 直线的点斜式方程 ————————————————————————————————————— [典例]　根据下列条件，求直线的点斜式方程． (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)． (2)因为直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－3＝x－2. (3)因为直线与x轴平行， 所以直线的倾斜角为0°，斜率k＝0， 所以直线方程为y＝－1. (4)因为直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x＝1. [方法技巧] 利用点斜式求直线方程的方法 求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点的坐标，均可求出直线的方程．特别注意：当斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0. [对点训练] 求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－3，－1)，斜率k＝； (2)过点P(0,5)，且与x轴垂直； (3)过点P(，1)，倾斜角是120°. 解：(1)∵直线过点P(－3，－1)，斜率k＝，∴直线的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)． (2)∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在，∴直线的方程为x＝0. (3)∵直线的倾斜角是120°，∴k＝tan 120°＝－.又直线过点P(，1)，∴直线的点斜式方程为y－1＝－(x－)． —————————————————————————————————— 直线的斜截式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　求满足下列条件的直线的方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为