2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解两条直线平行及垂直的条件． 2．能根据斜率判断两条直线平行或垂直． 重点 难点 重点：根据斜率判断两条直线是否平行或垂直． 难点：当斜率含参数时，对参数进行分类讨论. (一)两条直线平行与斜率之间的关系 已知两条直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下： 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 图示 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提：两直线l1，l2的斜率均存在，且不重合． (2)当直线的斜率都不存在且不重合时，直线l1，l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)当l1∥l2时，可能它们的斜率都存在且相等，也有可能斜率都不存在，但它们的倾斜角总是相等的． (4)若直线l1，l2可能重合，则有k1＝k2⇔l1∥l2或l1，l2重合． 1．下列命题中正确的是(　 ) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 B．若l1∥l2，则k1＝k2 C．在平面直角坐标系中，若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线斜率都不存在，则这两条直线平行 答案：C 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为(　 ) A．0 B．－8 C．2 D．10 答案：B (二)两条直线垂直与斜率之间的关系 (1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)当直线l1或l2的倾斜角为90°时，若l1⊥l2，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：选B　根据斜率乘积为－1，可知两条直线垂直． 2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　 ) A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180° 解析：选C　根据两条直线垂直，可知|α2－α1|＝90°. —————————————————————————————————— 两条直线平行的判定与应用 —————————————————————————————————————— [典例]　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)． [解]　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. [方法技巧] 判断两直线是否平行的步骤 　　 [对点训练] 1．经过两点C(3,1)，D(－2,0)的直线l1，与经过点M(1，－4)且斜率为的直线l2的位置关系为(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．无法确定 解析：选A　因为kl1＝＝， 所以kl1＝kl2. 又因为kMD＝＝－≠， 所以l1与l2不重合，所以l1与l2平行． 2．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与方向向量为a＝(－5,5)的直线平行，则实数m的值是(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选B　由a＝(－5,5)得直线的斜率为＝－1，因此直线PQ的斜率为＝－1，解得m＝－.经检验，m＝－符合题意．故选B. —————————————————————————————————