2.1.1 倾斜角与斜率（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　 2．1.1　倾斜角与斜率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程． 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式． 重点 难点 重点：倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式． 难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. (一)直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180° 1．下列图形中，α表示直线的倾斜角的是(　 ) 答案：B 2．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为15°，则直线l的倾斜角为________． 答案：105°或75° (二)直线的斜率 1．斜率 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)． 所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率． 直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系如下表： 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 2.过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k＝. 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝. 1．(多选)下列命题中，不正确的是(　 ) A．任一条直线都有倾斜角 B．任一条直线都有斜率 C．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α D．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α 答案：BCD 2．已知两点A(－1,2)，B(3,4)，则直线AB的斜率为(　 ) A．2 B．－ C. D．－2 答案：C 3．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________. 答案：－1 —————————————————————————————————— 直线的倾斜角 —————————————————————————————————————— [典例]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α＋45°或α－135° [解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)． [答案]　D [方法技巧] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角，同时还要根据旋转方向和旋转大小进行分类讨论． [对点训练] 1．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 答案：135° 2．求图中各直线的倾斜角． 解：①如图a，可知∠OAB为直线l1的倾斜角，易知∠ABO＝30°，所以∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. ②如图b，可知∠xAB为直线l2的倾斜角， 易知∠OBA＝45°，所以∠OAB＝45°， 所以∠xAB＝135°， 即直线l2的倾斜角为135°. ③如图c，可知∠OAC为直线l3的倾斜角， 易知∠ABO＝60°，所以∠BAO＝30°，所以∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. —————————————————————————————————— 直线的斜率 —————————————————————————————————————— [典例]　已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． [解析]　如图，∵kAP＝＝1， kBP＝＝－