1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　距离问题 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2.体会向量方法在解决几何问题中的作用． 重点难点 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题． 难点：理解距离的向量表示及求解方法. 1．点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，＝a，则点P到直线l的距离为： PQ＝ ＝. 2．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，则平面外一点P到平面α的距离为：PQ＝＝ ＝. 1．判断正误 (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模．(　 ) (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模．(　 ) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距．(　 ) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距．(　 ) (5)线面距、面面距可以转化成点面距．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．已知点A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　 ) A. B．1 C. D．2 解析：选A　由题意知，B＝(－1,2，－2)，取u＝＝，a＝B＝(－1,0,0)，∴a2＝1，a·u＝，∴点A到直线BC的距离为＝＝. 3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　 ) A．10 B．3 C. D. 解析：选D　点P到平面α的距离d＝＝＝. —————————————————————————————————— 向量法求点线距 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． [解]　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以直线A′C的方向向量＝(1,2，－3)．又＝(0,2,0)，所以在上的投影长为＝.所以点B到直线A′C的距离d＝＝＝. [方法技巧] 用向量法求点线距的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．　　 [对点训练] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足＝A＋A＋，则点P到直线AB的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　 建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，∴ ＝(0,1,0)， ＝(－1,0,0)，＝(0,0,1)，∴ ＝(0,1,0)＋(－1,0,0)＋(0,0,1)＝.∴·＝.∴点P到直线AB的距离为＝＝. —————————————————————————————————— 向量法求点面距 —————————————————————————————————————— [典例]如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为AB，BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离． [解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(2，，0)，F(，2，0)，B1(2，2，4)，B(2，2，0)，D1(0,0,4)，所以＝(0，，4)，＝(，0,4)，＝(－2，－2，0)．设n＝(x，y，z)是平面B1EF的法向量，则n⊥，n⊥，所以所以x＝y＝－2z，所以可取n＝(2，2，－1)，所以点D1到平面B1EF的距离d＝＝＝. 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两个不共线向量，平面α的法向量n)； (4)求距离d＝. [对点训练] 1.已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________． 解析：由题意得＝(－1,2,2)，＝(－2，－2,1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋2y＋2z＝0，n·＝－2x－2y＋z＝0，解得x＝－2y，z＝－2y.令y＝－1，得x＝z＝2.∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1,2)．又＝(