1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法． 2.理解用向量法判定空间直线与平面的位置关系． 重点难点 重点：空间中直线、平面的平行和垂直． 难点：理解直线、平面的向量表示. (一)空间中点、直线、平面的向量表示 1．点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，　　① 取＝a，代入①式，得 ＝＋t.　② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的向量表示式 取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝＋x＋y. 把上式称为空间平面ABC的向量表示式． 4．平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量． 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 1.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(　 ) A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B．直线AB的一个方向向量为(0,0,1) C．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) D．直线B1D的一个方向向量为(1,1,1) 解析：选AC　∵AA1∥DD1，且＝(0,0,1)，∴A正确；∵＝(1,0,0)，∴直线AB的一个方向向量为(1,0,0)，又向量(0,0,1)垂直于向量(1,0,0)，∴B不正确；连接AD1(图略)，∵AD1∥BC1，＝(0,1,1)，∴C正确；∵＝(－1,1，－1)，∴直线B1D的一个方向向量为(－1,1，－1)，又(－1,1，－1)与(1,1,1)不共线，∴D不正确． 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有________个； (2)平面AA1B1B的法向量有________个． 解析：(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个． (2)平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个． 答案：(1)8　(2)8 (二)空间中直线、平面的平行与垂直 1．空间中平行关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 2．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R) 面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　 ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：选B　因为n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，所以n∥a，所以l⊥α. 2．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________． 解析：＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2. 答案：l1⊥l2 3．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． 解析：u1·u2＝0，则α⊥β. 答案：α⊥β —————————————————————————————————— 求平面的法向量 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． [解]　易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1