检测评价3 空间向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（三） 空间向量基本定理 (一)基础落实 1．(多选)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列说法正确的是(　 ) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选ACD　A正确，若四点共线，则，，共面，构不成基底；B错误，C正确，若四点共面，则，，共面，构不成基底；D正确，若有三点共线，则这四点共面，，，构不成基底． 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　 ) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c 解析：选C　因为a，b，c不共面，故a,2b，b－c也不共面，能构成空间的一个基底．其他选项皆共面． 3.如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，若＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则(　 ) A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c 解析：选B　∵四棱锥P-OABC的底面是矩形，＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，∴＝＋＝－＋＝－a＋(＋)＝－a＋(－＋)＝－a－b＋c. 4．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为(　 ) A.，－1，－ B.，1， C．－，1，－ D.，1，－ 解析：选A　由题意，知d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，所以解得 5.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　 ) A．0 B. C. D. 解析：选A　取{，，}为空间的一个基底．根据题意，可得·＝(＋＋)·(＋＋)＝·＝2－2－2＝×4－1－×4＝0，所以和垂直，即A1E⊥GF，故A1E与GF所成角的余弦值为0. 6．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________. 解析：＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c. 答案：3a－b＋3c 7．已知非零向量a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面．若a∥b，则x＋y＝________. 解析：∵m，n，p不共面，∴m，n，p可看作空间向量的一个基底． ∵a∥b，∴存在λ≠0，使得b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp. ∴解得则x＋y＝－5. 答案：－5 8．在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________． 解析：如图所示，连接PN，AN.＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋，∴x＝－，y＝，z＝.∴x＋y＋z＝. 答案： 9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由． 解：能作为空间的一个基底． 假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使＝x＋y成立，e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.又因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面． 因此此方程组无解，即不存在实数x，y使＝x＋y， 所以，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底． 设＝p＋q＋z，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. 因为{e1，e2，e3}为空间的一个基底，所以解得 故＝17－5－30. 10．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 解：(1)∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，∴＋＋＝＋＋＝. (2)∵＝＋＝＋＝(－)＋(＋)＝＋＋，又＝α＋β＋γ，∴α＝，β＝，γ＝. (二)综合应用 1.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B