检测评价2 空间向量的数量积运算（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二） 空间向量的数量积运算 (一)基础落实 1．下列结论中正确的是(　 ) A．(a·b)·c＝(b·c)·a B．若a·b＝－|a||b|，则a∥b C．若a，b，c为非零向量，且a·c＝b·c，则a∥b D．若a2＝b2，则a＝b 解析：选B　由a·b＝|a||b|cosa，b，得cosa，b＝＝－1，又因为0°≤a，b≤180°，所以a，b＝180°，所以a∥b，B正确．A、C、D显然错误． 2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　 ) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：选C　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以||＝12.即PC＝12. 3．已知空间向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　 ) A．60° B．30° C．135° D．45° 解析：选D　因为a－b与a垂直，所以(a－b)·a＝0，即a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－cos〈a，b〉＝0.所以cos〈a，b〉＝.又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝45°. 4．已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，∴θ＝120°，∴两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.故选B. 5．在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AD＝∠A1AB＝，则||＝(　 ) A．2 B．2 C．3 D. 解析：选D　∵＝＋＋，∴||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋22＋2×1×1×cos＋2×1×2×cos＋2×1×2×cos＝1＋1＋4＋2＋2＝10，∴||＝.故选D. 6．若ABCD为空间四边形，则·＋·＋·＝________. 解析：·＋·＋·＝·(－)＋(－)·－·(－)＝·－·＋·－·－·＋·＝0. 答案：0 7.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0. 又0°<〈，〉≤90°，∴〈，〉＝90°. 答案：90° 8.如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，则向量分别在，方向上的投影向量为________；向量在方向上的投影数量为________． 解析：根据正六棱柱的性质，知DD1⊥AD，EE1⊥E1D1，ED⊥AE，E1D1⊥AE.又AE∩EE1＝E，AE⊂平面A1E1EA，EE1⊂平面A1E1EA，所以D1E1⊥平面A1E1EA.又AE1⊂平面A1E1EA，所以D1E1⊥AE1.所以向量在，方向上的投影向量分别为，.向量在方向上的投影数量为||＝2. 答案：，　2 9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)·；(2)·；(3)·. 解：如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝b· ＝|b|2＝42＝16. (2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)·＝· ＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2. 10.如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD. 证明：·＝(＋＋)·＝·＝· ＝a2＋a2·cos 120°＋a2cos 60°－a2cos 60°＝0，所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (二)综合应用 1．(多选)已知几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列说法中正确的是(　 ) A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··| 解析：选AB　对于A，由向量加法得＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，∴A正确；对于B，∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，∴B正确；对于C，易得△AD1C是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，∴C不正确；对于D，∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|··|＝0，∴D不正确．故选A、B. 2.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面AB