检测评价1 空间向量及其线性运算（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（一） 空间向量及其线性运算 (一)基础落实 1．已知空间任意两个向量a，b，则这两个向量一定是(　 ) A．共线向量 B．共面向量 C．不共线向量 D．共面但一定不共线 答案：B 2．在四面体ABCD中，G是CD的中点，连接AG，则＋(＋)＝(　 ) A. B. C. D. 答案：A 3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　 ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A　∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，∴∥.又与有一公共点B，∴A，B，D三点共线． 4．在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y＝(　 ) A．－ B. C. D．－ 解析：选B　若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)＝＋＋成立，所以＝，可得λ＝，所以x＝y＝，可得x＋y＝. 5．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则选项中为正确命题的是(　 ) A.＋与＋是一对相反向量 B.－与－是一对相反向量 C.－与－是一对相等向量 D.(＋＋＋)与(＋＋＋)是一对相反向量 解析：选AD　对于A，取AD，B1C1的中点M，N(图略)，则＋＝2，＋＝2，两者是一对相反向量；对于B，－＝，－＝，两者是一对相等向量；对于C，－＝，－＝，两者是一对相反向量；对于D，设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P，Q，分别取AB，CD的中点E，F，A1B1，C1D1的中点G，H(图略)，则(＋＋＋)＝＋＝2，(＋＋＋)＝＋＝2，两者是一对相反向量． 6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则|－|＝________. 解析：|－|＝|－|＝||＝||＝＝. 答案： 7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝______.(用a，b，c表示) 解析：如图，连接CA1.＝－＝－－＝b－a－c. 答案：b－a－c 8.如图，O是△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________． 解析：连接OM(图略)．∵＝＋＋＝＋×2＝＋，∴G为AM的中点，∴＝.又＝λ，∴λ＝. 答案： 9.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量． 解：连接EF，如图所示．∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝. 又＝(－)＝－＝－＝， ∴＋－＝＋－＝. 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 证明：连接MO，MC1(图略)．设＝a，＝b，AA1＝c，则＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋(＋＋)＝＋＋＝a＋b＋c，＝＋＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，∴＝3.又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线． (二)综合应用 1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线．若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理，得＝(1＋λ)－λ.令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1. 2.如图所示，已知三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为(　 ) A．x＝，y＝，z＝ B．x＝，y＝，z＝ C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝ 解析：选D　因为点N为BC的中点，所以＝(＋)．又＝，所以＝－＝(＋)－.因为MG＝2GN，所以＝＝(＋)－.所以＝＋＝＋(＋)－＝＋＋. 3．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________. 解析：＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2，设＝λ(λ∈R)，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以解得k＝1. 答案：1 4．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 证明：(1)如图，连接EG，BG. 因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面． (2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面E