检测评价16 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十六） 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 (一)基础落实 1．直线l1：3x＋4y－7＝0与直线l2：6x＋8y＋1＝0之间的距离为(　 ) A．8 B．4 C. D. 解析：选D　易得l1∥l2，所以直线l1与直线l2之间的距离d＝＝.故选D. 2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为(　 ) A．3x－4y－1＝0 B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0 C．3x－4y＋1＝0 D．3x－4y－21＝0 解析：选B　设所求的直线方程为3x－4y＋C＝0.由题意＝2，解得C＝－1或C＝－21. 3．若点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　 ) A．(7，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D．(－3,7)∪(7，＋∞) 解析：选C　根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.故选C. 4．已知直线l：kx＋y－3k－4＝0(k∈R)，点A(4,1)和B(6,15)到直线l的距离分别为d1，d2且d2＝2d1，则直线l的方程为(　 ) A．x＋y＋9＝0 B．2x＋y－18＝0 C．x－y＋1＝0或17x－y－47＝0 D．x＋4y－6＝0或3x＋y－12＝0 解析：选C　∵点A(4,1)到直线l的距离为d1＝＝，点B(6,15)到直线l的距离为d2＝＝，而d2＝2d1，∴＝，可得k2＋18k＋17＝0，解得k＝－1或k＝－17.故直线l的方程为x－y＋1＝0或17x－y－47＝0. 5．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为(　 ) A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0 解析：选A　当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，又kBA＝＝2，∴kl1＝－.∴l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________． 解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52， ∴k＝－3或k＝. 答案：－3或 7．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为________． 解析：设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意得＝，解得a＝1或a＝2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)． 答案：(1,2)或(2，－1) 8．点A(1,1)到直线xcos θ＋ysin θ－2＝0的距离的最大值是________． 解析：依题意得，点(1,1)到直线的距离 d＝＝|cos θ＋sin θ－2| ＝. 当sin＝－1时，dmax＝|－－2|＝2＋. 答案：2＋ 9．已知点B(1,4)，C(6,2)，点A在直线x－3y＋3＝0上，并且使△ABC的面积等于21，求点A的坐标． 解：由点A在直线x－3y＋3＝0上， 则可设点A(3y－3，y)． 直线BC由两点式可得＝， 即2x＋5y－22＝0，|BC|＝＝， 则点A到BC的距离为d＝＝. ∴三角形面积S＝|BC|d＝××＝21，∴y＝或y＝－， ∴点A的坐标为或. 10．已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程． 解：①若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1，l2的斜率均为k，则l1的斜截式方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的点斜式方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0， 因为直线l1过点A(0,1)，所以点A到直线l2的距离d＝＝5， 所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝， 所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. ②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件． 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. (二)综合应用 1．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　 ) A．l的倾斜角等于150° B．l在x轴上的截距等于 C．l与直线x－3y＋2＝0垂直 D．l上不存在与原点距离等于的点 解析：选CD　因为直线l的一个方向向量为u＝，所以直线l的斜率k＝＝－，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－，所以α＝120°，所以A错误； 因为l经过点(1，－2)，所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，令y＝0，则x＝－＋1，所以l在x轴上的截距为－＋1，所以B错误；