检测评价15 两点间的距离公式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十五） 两点间的距离公式 (一)基础落实 1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　 ) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 解析：选C　由|AB|＝＝5，可知(a＋2)2＝9.∴a＝1或－5. 2．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　 ) A．2 B．3 　C. 　　D. 解析：选C　由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|＝＝.故选C. 3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　 ) A．2 B．3＋2 　C．6＋3 　　D．6＋ 解析：选C　由两点间距离公式得|AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3.故选C. 4．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和C，则△ABC的形状是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 解析：选C　∵|AC|＝＝|a|，|BC|＝＝|a|，|AB|＝|a＋a|＝2|a|，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2.∴△ABC为直角三角形． 5．已知A(1,4)，B(8,3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是(　 ) A．(4,0) B．(5,0) C．(－5,0) D．(－4,0) 解析：选B　∵A(1,4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，∴A′B所在的直线方程为y＝x－5.令y＝0，得x＝5.∴P(5,0)． 6．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为(2，－1)，则线段AB的长度为________． 解析：在平面直角坐标系中，AO⊥BO，则△ABO为直角三角形，且AB为斜边，故|AB|＝2|OM|＝2＝2. 答案：2 7．已知点A(－2，3)，在y轴上有一点B，且|AB|＝3，则点B的坐标为________． 解析：设y轴上的点B的坐标为(0，y)，因为点A(－2，3)，所以|AB|＝ ＝3，解得y＝8或y＝－2.所以点B的坐标为(0,8)或(0，－2)． 答案：(0,8)或(0，－2) 8．已知光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2，10)，则光线从B到A经过的路程为________． 解析：B(－3,5)关于x轴的对称点为B′(－3，－5)，AB′交x轴于P点，所以|PA|＋|PB|＝|AB′| ＝＝5， 即光线从B到A经过的路程为5. 答案：5 9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，解方程组得 即B.由AB＝＝5，解得k＝－，∴直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意，综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 10.某工厂M(看作一点)位于两条高速公路(看作两条直线)OA与OB之间．已知M(15，9)，∠AOB＝60°，以O为坐标原点，直线OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线OB的方程； (2)现紧贴工厂M修建一条公路(看作直线)连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为线段CD的中点，求线段CD的长． 解：(1)因为∠AOB＝60°，所以直线OB的斜率k＝tan 60°＝.所以直线OB的方程为y＝x. (2)设C(x1,0)，D(x2，y2)，因为M(15，9)为线段CD的中点，且D在OB上，所以解得所以|CD|＝＝36. 即线段CD的长为36. (二)综合应用 1．已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，则|PQ|的最大值为(　 ) A. B．2 C．4 D．2 解析：选B　∵P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)， ∴|PQ|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＋sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝(cos2α＋sin2α)＋(cos2β＋sin2β)－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－2cos(α－β)．即|PQ|＝.∵cos(α－β)∈[－1,1]，∴|PQ|∈[0,2]．故选B. 2．已知点P是平面上一动点，点A(1,1)，B(2，－2)是平面上两个定点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________，此时P的坐标是________． 解析：