检测评价8 夹角问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（八） 夹角问题 (一)基础落实 1．已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则平面α与β所成的角为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选D　因为n1·n2＝0，所以α⊥β，所以α与β所成的角为90°. 2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　如图所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝. 3．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　 ) A. B．－ C. D.或－ 解析：选D　因为＝.所以这个二面角的余弦值为或－. 4.如图所示，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小是(　 ) A．120° B．45° C．135° D．60° 解析：选B　以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)， ＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)， 则有令x＝1，则z＝1，y＝0，则n＝(1,0,1)是平面BCE的一个法向量．又平面ADE的一个法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE的夹角为45°. 5．(多选)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB，则(　 ) A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 解析：选BC　取A1C1中点E，AC中点F，A1B1中点K，并连接EF，EB1，C1K，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB＝2，则AA1＝2.∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1,2)，C(0,1，2)，B1(，0,0)．∴＝(0,2，－2)．∵底面ABC的其中一个法向量为m＝(0,0,2)，∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝.∴A错，B对．∵A1B1的中点K的坐标为，∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝.∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝.∴C对，D错．故选B、C. 6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，∴＝(－2,0,1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2，2,0)．∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝. 答案： 7．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________. 解析：设A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0，a)(a＞0)，则＝(－3，0，a)，A＝(－3，4,0)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝，y＝，∴n＝，取平面Oxy的一个法向量为m＝(0,0,1)，则|cos〈m，n〉|＝＝，解得a2＝，又a＞0，∴a＝. 答案： 8．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为________． 解析：以D为坐标原点，建系如图， 则B(1,2,0)，C1(0,2,2)，A(1,0,0)，E(0,2,1)，所以＝(－1，0,2)，＝(－1,2,1)．则cos〈，〉＝，所以异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为. 答案： 9.如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的体对角线BD′上，满足BP＝2PD′. (1)求DP与CC′所成角的余弦值； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的正弦值． 解：如图建立空间直角坐标系， 设棱长为1，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，D′(0，0,1)，则＝(－1，－1，1)， ＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(0,1,0)．∵BP＝2PD′，∴＝＝. (1)＝＋＝(1,1,0)＋＝，设DP与CC′所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，∴DP与CC′所成角的余弦值