检测评价7 距离问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（七） 距离问题 (一)基础落实 1．两个平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两个平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两个平面间的距离是(　 ) A. B. C. D．3 解析：选B　依题意，得两个平面间的距离d＝＝. 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　 ) A.a B．a C.a D. 解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，＝(－a,0，a)．∴||＝a，||＝a.∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a. 3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O点到平面ABC1D1的距离是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　连接DA1，A1C1，则O点在A1C1上，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，O，则＝(1,0,1)，＝.易知为平面ABC1D1的一个法向量，故O点到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝. 4．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝BC＝2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,4)，P(0，t,2t)，t∈[0,2]，Q(2－m，m,0)，m∈[0,2]，∴PQ＝＝，当且仅当5t＝m＝时，PQ取最小值.选C. 5．在平面直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(2，－6)，现沿x轴将坐标平面折成平面角为60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为(　 ) A．2 B. C. D．3 解析：选D　在平面直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(2，－6)，沿x轴将坐标平面折成平面角为60°的二面角后，作AC⊥x轴，交x轴于C点，作BD⊥x轴，交x轴于D点，如图所示，则||＝6，||＝3，||＝6，⊥，⊥，，的夹角为120°，∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝62＋32＋62＋2×6×6×＝45，∴||＝3，即折叠后A，B两点间的距离为3.故选D. 6．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________． 解析：∵A＝(－6,0,0)，n＝(6,3,4)，∴d＝＝＝. 答案： 7．已知点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________． 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，A＝(2，－2,1)，A＝(4,0,6)， ∴即 令z＝－2，得x＝3，y＝2，则n＝(3,2，－2)． 又∵＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝. 答案： 8．在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,2,1)，B(2,1，m)，C(0,1,2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：________. 解析：因为＝(1，－1，m－1)，＝(－1，－1,1)， 所以点C到直线AB的距离d＝＝≥， 解得1－≤m≤1＋. 答案：1(答案不唯一，只要m∈[1－，1＋]即可) 9．在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0，0,2)，C(0,3,0)，∴＝(－2，0,2)， ＝(－2,3,0)，∴＝，∴O1到直线AC的距离d＝＝. 10.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O为原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，B＝(0，，)．设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)， 由得取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．又＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝. (二)综合应用 1.(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，E，F分别为PD，PB的中点，则(　 ) A．EF⊥平面PAC B