检测评价6 用空间向量研究直线、平面的位置关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（六）用空间向量研究直线、平面的位置关系 (一)基础落实 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1与l2的位置关系是(　 ) A．l1⊥l2 B．l1∥l2 C．l1，l2相交不垂直 D．不能确定 解析：选A　∵直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，∴a·b＝－2＋6－4＝0，即a⊥b，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 2．若d＝(4,2,3)是直线l的方向向量，n＝(－1,3,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是(　 ) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直 解析：选D　∵d·n＝－4＋2×3＋0＝2≠0，∴d与n不垂直．又d与n不平行，∴直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直． 3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　 ) A．(－1，－1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(1,1，－1) 解析：选A　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)． 4．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3,1)，向量＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，则(　 ) A．平面α∥平面ABC B．平面α⊥平面ABC C．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能 解析：选A　因为n1·＝0，n1·＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行，故选A. 5.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　 ) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：选B　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则E(1,0,1)，F(2，1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0，3,0)，D(0,0,0)，B(3，3,0)，D1(0,0,3)，∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)，＝(－3,0，－3)，＝(－3，－3,3)．∵·＝0，·＝0，∴EF⊥AC，EF⊥A1D，∴A错误，B正确；∵＝－3，∴∥，即EF∥BD1，∴C、D错误． 6．设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________. 解析：∵α∥β，∴存在实数λ，使(1,2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4. 答案：4 7.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，如图建系，则平面OCB1的法向量n＝________. 解析：易得O(0,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设n＝(x，y，z)，∵·n＝y＝0，·n＝x＋y＋z＝0，故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1.∴平面OCB1的一个法向量为n＝(1,0，－1)(答案不唯一)． 答案：(1,0，－1)(答案不唯一) 8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________． 解析：设M(x，y，z)，因为＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得所以x＝－，y＝，z＝1，所以点M的坐标为. 答案： 9.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，连接OO1，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1，1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2,1,0)．因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0，·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD. (二)综合应用 1．(多