检测评价5 空间向量运算的坐标表示（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（五） 空间向量运算的坐标表示 (一)基础落实 1．若向量a＝(2,0，－1)，b＝(0,1，－2)，则2a－b＝(　 ) A．(－4,1,0) B．(－4,1，－4) C．(4，－1,0) D．(4，－1，－4) 解析：选C　因为向量a＝(2,0，－1)，所以2a＝(4,0，－2)，又向量b＝(0,1，－2)，所以2a－b＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0)．故选C. 2．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b等于(　 ) A．5 B．－5 C．7 D．－1 解析：选B　∵a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，∴两式相加得2a＝(2，－4,0)，解得a＝(1，－2，0)，∴b＝(－3,1,2)，∴a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.故选B. 3．空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A′与点B(－1，1,5)间的距离为(　 ) A．6 B．2 C．4 D．2 解析：选D　由题意得，A′(3,3，－1)，所以＝(－4，－2,6)，所以||＝＝2.故选D. 4．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为(　 ) A．－3 B．11 C．3 D．－3或11 解析：选A　根据公式cos〈a，b〉＝＝＝－，∴＝－，解得x＝－3.故选A. 5．已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　 ) A．(2,5,0) B．(－4，－1，－6)或(2,5,0) C．(3,4,1) D．(3,4,1)或(－3，－2，－5) 解析：选B　设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，由题知＝(1,1,1)，又||＝3||且∥，所以＝－3或＝3， 即或解得或 所以Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)． 6.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为__________． 解析：因为点D(0,0,0)，＝(4,3,2)，所以B1(4,3,2)，即AD＝4，CD＝3，DD1＝2，所以A(4,0,0)，C1(0，3,2)，因此＝(－4,3,2)． 答案：(－4,3,2) 7．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________． 解析：由题知，b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋.∴(|b－a|2)min＝.∴|b－a|min＝. 答案： 8．若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为________． 解析：由题知，a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，|a|＝＝，|b|＝＝，故cos 120°＝＝＝－，解得λ＝17或λ＝－1. 答案：17或－1 9．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1，－2,0)． (1)求a与(a－b)的夹角； (2)若2a＋b与a－tb垂直，求实数t的值． 解：(1)∵a＝(－1,0,1)，b＝(1，－2,0)， ∴a－b＝(－2,2,1)，|a|＝， |a－b|＝＝3. 设a与(a－b)的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴a与(a－b)的夹角为. (2)∵2a＋b＝(－1，－2,2)，a－tb＝(－1－t,2t,1)， 又2a＋b与a－tb垂直，∴(2a＋b)·(a－tb)＝0， 即－1×(－1－t)＋2t×(－2)＋1×2＝0，解得t＝1. 10.如图，设边长为2的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线VO，VO＝2，E为VO的中点，求与夹角的余弦值． 解：连接BD，AC，显然有BD⊥AC，BD∩AC＝O，BD＝AC＝2.如图分别以，，的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则B(0，，0)，C(－，0,0)，O(0,0,0)，V(0,0,2)，E(0，0,1)，则＝(0，－，2)，＝(，0,1)，则·＝0×－×0＋2×1＝2，||＝ ＝，||＝ ＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以与夹角的余弦值为. (二)综合应用 1．已知a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝cos θ，sin θ，，且a⊥b，则θ为(　 ) A．－ B. C．2kπ－(k∈Z) D．kπ－(k∈Z) 解析：选D　∵ a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝，且a⊥b，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＋1＝0，即sin 2θ＝－1，∴2θ＝