1.1.2 空间向量的数量积运算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算． 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质． 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. (一)两个空间向量的夹角 ∠AOB a，b a⊥b 0 3．空间向量数量积的运算律 b·a a·c＋b·c 4.空间向量数量积的性质 0 [方法技巧] (1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用夹角公式求异面直线所成的角的步骤 答案：C　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（二） (单击进入电子文档) 44 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则_______叫做向量a，b的夹角 记法 _______ 范围 0≤a，b≤π，当a，b＝时，______ 对两个空间向量夹角的理解 (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故a，b＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a. (3)①a，b＝b，a＝－a，－b＝－b，－a； ②a，－b＝－a，b＝π－a，b； ③，＝，＝π－，． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是 (　 ) A．， B．， C．， D．， 答案：B (二)空间向量的数量积 1．空间向量的数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________________．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝____. |a||b|cosa，b |a||b|cosa，b 2．投影向量 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量 b共线的向量c，c＝________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影如图(2)． |a|cos〈a，b〉 (3)向量a向平面β投影： 如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量______称为向量a在平面β上的投影向量． (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R a·b＝_____ (交换律) (a＋b)·c＝____________ (分配律) (1) a·e＝|a|cosa，e(其中e为单位向量) (2) 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝____ (3) a·a＝|a|2或|a|＝_______＝_____ (4) 若a，b为非零向量，则cosa，b＝__________ (5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立) 空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度． (3)cosa，b＝，此结论用于求有关空间角的问题． (4)|b|cosa，b＝，此结论用于求空间中的距离问题． 1.判断正误 (1)向量与的夹角等于向量与的夹角． (　 ) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. (　 ) (3)对于非零向量a，b，a，b与－a，－b相等． (　 ) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c. (　 ) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 答案：C 2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为 (　 ) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案：B 3．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　 ) A. B. C. D．4 ——————————————————————————————— 空间向量数量积的计算 ——————————————————————————————————— [典例]　如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． [解]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.，＝，＝，＝60°. (1)·＝||||·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)