1.1.1 空间向量及其线性运算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1．1.1　空间向量及其线性运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解空间向量的概念． 2.掌握空间向量的加减运算． 3.掌握空间向量的数乘运算． 重点难点 重点：向量的加减、数乘运算． 难点：共线向量、共面向量的掌握及运用. (一)空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 大小 方向 大小 有向线段 长度 2．几类特殊的空间向量 零向量 模为1 相等 相反 名称 定义及表示 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_________或重合，那么这些向量叫做_________或平行向量，规定零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有_____ 相等向量 方向_____且模______的向量叫做相等向量，在空间中，______且______的有向线段表示同一向量或相等向量 互相平行 共线向量 相同 相等 同向 等长 续表 0∥a (二)空间向量的线性运算 续表 λa＋μa λa＋λb 空间向量数乘运算的注意点 (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． (2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时)． (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. λ λa a＝λb 平行或重合 平行于 平行于 p＝xa＋yb [方法技巧] 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反． [对点训练] 1．(多选)下列命题为假命题的是 (　 ) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：对于A，向量的模即向量的长度，是一个数量，故任意两个向量的模可以比较大小；对于B，其终点构成一个球面；对于C，零向量不能用有向线段表示；对于D，两个向量不相等，它们的模可以相等．故选B、C、D. 答案：BCD　 [方法技巧] 进行线性运算时应注意的4个法则 (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”； (2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”； (3)平行四边形法则：“起点重合”； (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．　　 [方法技巧] (1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． (2)向量共面，向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时，向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．　　 内化素养 数学运算 运算时注意符合向量的运算律 逻辑推理 恰当利用三角形法则、平行四边形法则和多边形法则 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（一） (单击进入电子文档) 52 定义 在空间，我们把具有_____和_____的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的_____叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示 空间向量用__________表示，有向线段的_____表示空间向量的模 字母表示 向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记作|a|或|| 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做______，记为0 单位向量 ______的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，叫做a的相反向量，记为－a 对共线向量的理解 (1)零向量和任一空间向量是共线向量． (2)共线向量不具有传递性，如a∥b，b∥c，但a∥c不一定成立，因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不一定与c共线． 1.判断正误 (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (　 ) (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． (　 ) (3)任一向量与它的相反向量不相等． (　 ) (4)向量与向量的长度相等． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的顶点表示的向量中，模与向量的模相等的向量有________个． 解析：如图，模与向量的模相等的向量有，，，，，，，共7个． 答案：7 0 加法 a＋b＝＋＝_____ 减法 a－b＝－＝_____ 数乘 当λ＞0时，λa＝＝λ，当λ＝0时，λa＝____，当λ＜0时，λa＝＝λ 线