2.3.2 两点间的距离公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3.2　两点间的距离公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 探索并掌握平面上两点间的距离公式． 重点 难点 重点：两点间的距离公式． 难点：坐标法求解平面几何问题. [方法技巧] 平面上两点间的距离公式的应用类型 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的函数、方程或方程组求解． (2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形．　　 [方法技巧] 利用坐标法解决平面几何问题的4步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 答案：B　 答案：A　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十五） (单击进入电子文档) 33 两点间的距离 平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝_____________________. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝_________. (1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2垂直于y轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2垂直于x轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. (3)由两点间的距离公式，既可以解决已知点的坐标求距离问题，也可以解决已知距离求点的坐标问题． 1．已知点M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于 (　 ) A．5 B. C. D．4 解析：|MN|＝＝5.故选A. 答案：A　 2．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是 (　 ) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 解析：设所求点的坐标为(x0，y0)．有 解得或 即所有点的坐标为(－3,4)，(－1,2)．故选B、C. 答案：BC　 ——————————————————————————————— 求两点间的距离 ——————————————————————————————————— [典例]　(1)已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值是 (　 ) A．－2 B．2 C．－ D. (2)已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为____________． [解析]　(1)因为点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，所以＝，解得a＝－.故选C. (2)设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝13，得＝13，解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1,0)或(9,0)． [答案]　(1)C　(2)(－1,0)或(9,0) [方法技巧] 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 [对点训练] 1．已知点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为 (　 ) A．41 B. C. D．39 解析：设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)．则|OM|＝＝.故选B. 答案：B　 2．已知点A(1，－4)，B(5，b)，且|AB|＝4，则b＝________. 解析：由平面上两点间的距离公式，得 |AB|＝＝4， 即b2＋8b－128＝0，解得b＝8或b＝－16， 故b的值为8或－16. 答案：8或－16 —————————————————————————————— 两点间距离公式的应用 —————————————————————————————————— [典例]　如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 　　 [解]　法一：∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 法三：∵＝(6，－4)，＝(4,6)． ∴·＝6×4－4×6＝0，∴AB⊥AC.