2.2.2 直线的两点式方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2.2　直线的两点式方程 明学习目标 知结构体系 课标要求 根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线的两点式与截距式方程． 重点难点 重点：直线的两点式方程的建立． 难点：应用直线的两点式与截距式方程解决有关问题. (一)两点式方程 (二)截距式方程 (1)截距式方程应用的前提是截距存在且均不为0，即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程． (2)若直线在两坐标轴上的截距(记为a，b)相等，即a＝b，则k＝－1或直线过原点，故常设此直线方程为x＋y＝a或y＝kx. (3)截距并非距离，截距相等的情况包括截距为零的情况． [方法技巧] 已知直线上两点的坐标求直线方程的策略 (1)若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得(一般要把方程化为整式形式)．代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系． (2)若点的坐标中含有参数，要注意对参数的讨论． 一般地，在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式先求出斜率，再用点斜式求直线方程． 答案：B　 [拓展] 若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？ [方法技巧] 求直线的截距式方程的方法 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况． (3)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十二） (单击进入电子文档) 37 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ________________ 适用条件 斜率存在且不为零 ＝ 在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式＝(x1≠x2，y1≠y2)通过交叉相乘转化为整式形式(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)，在得到的方程中，包含了x1＝x2或y1＝y2的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由x1，x2和y1，y2是否相等引起的讨论．若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式． 1.判断正误 (1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示． (　 ) (2)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出． (　 ) (3)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．经过两点(－1,2)，(－3，－2)的直线的方程是 (　 ) A．x－2y＋5＝0 B．x－2y－5＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x－y＋4＝0 解析：根据直线的两点式方程，得＝，化简整理，得2x－y＋4＝0，故选D. 答案：D　 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ____________ 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 ＋＝1 1．在x轴和y轴上的截距分别为－4和5的直线方程是 (　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 2．已知过点M(1,2)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若M为AB的中点，则直线l的截距式方程为____________． 答案：＋＝1 —————————————————————————————— 直线的两点式方程 —————————————————————————————————— [典例]　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3，所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [拓展] 若本例中已知条件不变，将结论改为“求BC边的垂直平分线所在的直线方程”，如何求解？ 解：kBC＝＝－， 则BC边的垂直平分线的斜率为， 又BC的中点坐标为， 由点斜式方程可得y＋3＝， 即10x－4y－37＝0. [