2.1.1 倾斜角与斜率（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章 直线和圆的方程 2．1.1　倾斜角与斜率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程． 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式． 重点 难点 重点：倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式． 难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_____与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为____.因此，直线的倾斜角α的取值范围为______________ (一)直线的倾斜角 正向 0° 0°≤α<180° 正切值 tan α 所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率． 直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系如下表： [方法技巧] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角，同时还要根据旋转方向和旋转大小进行分类讨论． 2．求图中各直线的倾斜角． [方法技巧] 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时，可直接利用斜率公式求解．应用斜率公式时，应先判定两定点的横坐标是否相等．若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．　　 [方法技巧] 判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在： (1)若斜率都不存在，则三点共线； (2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在，解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论．　　 内化素养 直观想象 从所给图形中读取有用的信息，并能利用图形直观分析解决问题 逻辑推理 由[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间对应的图象，判断污水治理能力的强弱 解析：令α1＝45°，α2＝135°，则k1＝1，k2＝－1，k1>k2，故A错误；易知C错误；令α1＝α2＝90°，则k1，k2不存在，故B错误；由k1＝k2知，α1＝α2，故D正确．故选D. 答案：D　 强化拓广探索 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（九） (单击进入电子文档) 38 1．下列图形中，α表示直线的倾斜角的是 (　 ) 答案：B 2．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为15°，则直线l的倾斜角为________． 答案：105°或75° (二)直线的斜率 1．斜率 一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_______(α≠90°)． 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 2.过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是___________. 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝____. k＝ 1．(多选)下列命题中，不正确的是 (　 ) A．任一条直线都有倾斜角 B．任一条直线都有斜率 C．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α D．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α 答案：BCD 2．已知两点A(－1,2)，B(3,4)，则直线AB的斜率为 (　 ) A．2 B．－ C. D．－2 答案：C 3．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________. 答案：－1 —————————————————————————————— 直线的倾斜角 —————————————————————————————————— [典例]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为 (　 ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α＋45°或α－135° [解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α