1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法． 2.理解用向量法判定空间直线与平面的位置关系． 重点难点 重点：空间中直线、平面的平行和垂直． 难点：理解直线、平面的向量表示. 位置向量 基点 法向量 (二)空间中直线、平面的平行与垂直 1．空间中平行关系的向量表示 u1＝λu2 u·n＝0 n1＝λn2 2．空间中垂直关系的向量表示 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 a·b＝0 a∥u a＝ku u⊥v u·v＝0 [拓展] 1．本题条件不变，试求直线B1D的一个方向向量和平面B1CD的一个法向量． [方法技巧] 1．应用向量法证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行． 答案：D　 [方法技巧] 1．利用坐标法证明线面垂直的方法 建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积；由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直． 2．利用向量证明面面垂直的方法 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（六） (单击进入电子文档) 45 (一)空间中点、直线、平面的向量表示 1．点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为______，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的___________． 2．空间直线的向量表示式 如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝___________，　　① 取＝a，代入①式，得 ＝___________.　② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． ＋ta ＋t 3．平面的向量表示式 取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝____________________. 把上式称为空间平面ABC的向量表示式． ＋x＋y 4．平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的_________． 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合______________． {P|a·＝0} 1.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则 (　 ) A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B．直线AB的一个方向向量为(0,0,1) C．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) D．直线B1D的一个方向向量为(1,1,1) 解析：∵AA1∥DD1，且＝(0,0,1)，∴A正确；∵＝(1,0,0)，∴直线AB的一个方向向量为(1,0,0)，又向量(0,0,1)垂直于向量(1,0,0)，∴B不正确；连接AD1(图略)，∵AD1∥BC1，＝(0,1,1)，∴C正确；∵＝(－1,1，－1)，∴直线B1D的一个方向向量为(－1,1，－1)，又(－1,1，－1)与(1,1,1)不共线，∴D不正确． 答案：AC 答案：(1)8　(2)8 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有________个； (2)平面AA1B1B的法向量有________个． 解析：(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个． (2)平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个． 位置关系 向量表示 线线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得_________ 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔_________ 面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得_________ 线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________ ⇔_____________________ 线面垂直 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l