3.1.1 基本计数原理（第1课时）（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第二册）

2023-2024学年高二数学同步精品课堂 3.1.1 基本计数原理 第三章 排列、组合和二项式定理 高二选择性必修第二册（2019人教B版） 第1课时 分类加法、分步乘法计数原理 ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④课堂练习 ⑤课堂总结 ⑥作业布置 学习目标 新知导入 新知导入 你能解答下述两个问题吗？试着由此归纳出一般规律。 （1）已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车由3班，小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？ 【解析】小张乘坐的列车可以分三类：高铁、动车和其他列车，其中任何一类都可以让校长从北京到上海，因此不同的选择有 43+2+3=48种 新知探索 你能解答下述两个问题吗？试着由此归纳出一般规律。 （2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢？ 【解析】从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：火车、汽车或者轮船，每类交通工具又各有若干个班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到乙地，因此不同的坐法共有 1+3+2=6种 新知探索 上面两个问题有两个共同点： 1.都可以分类； 2.每一类种的任何一种方法都可以完成事件。 把这种解法推广到一般情况，就可以得到以下原理 分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类中有m1种不同的方法，第二类中有m2种不同的方法……第n类中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。 注意点： （1）每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件； （2）每种情况内认两种方式都不同时存在； （3）不同情况之间没有相同方式存在。 新知探索 【例1】从高二年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ 【解析】分四类： 从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法； 从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法。 共有不同选法N=4+5+6+7=22（种） 【练习1】设集合A=则方程焦点在x轴上的椭圆有 个。 【解析】因为焦点在x轴上，所以m＞n， 当m=4时，n=1,2,3； 当m=3时，n=1,2； 当m=2时，n=1. 即所求椭圆共有3+2+1=6（个）。 【思考】如果题中条件不变，结论改为“方程焦点在x轴上的双曲线有 个”？ 【练习2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 。 【解析】根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个， 由分类加法计数原理可知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个） 【思考】如果讨论个位数字，可以怎么分类呢？ 【总结】 （1）分类时，首先要确定一个合适的分类标准，分类的时候要做到“不重不漏”； （2）利用分类加法计数原理计数时的解题流程： 情境二： 已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点A到东门共有2条不同的路。你从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园。只考虑路线的选择，你共有多少种不同的走法？ 【解析】如果把从西门到景点A的路记为a，b，c，把从景点到东门的路记为x，y，用ax表示你从a到景点A，然后从x走到东门。注意不管你选择那条路到景点A，你去东门都有l两种不同的选择方法，因此不同的走法有：ax，ay，bx，by，cx，cy，共有6种，可以看出，这里的6可以看做3个2的乘积，即 3×2=6 【总结】 本题可以分成两步，先从西门到景点A，有3种不同路线；再从景点A到东门，有2种不同的路线，且要把这两步都做完才能完成这件事。因此总的路线数为：3×2=6 把这种解法推广到一般情况，可以得出： 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法……做第n步有n种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同方法。 【注意点】（1）步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的； （2）每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响； （3）每步所取的方式不同，每一步都有若干种方法。 【例2】用1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【解析】要组成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分成三步完成。 【解】排成一个三位数，可以分成三步： 第一步，