3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 讲义——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 1、函数的单调性： 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。 2、增函数、减函数的概念： 一般地，设函数的定义域为，区间⊆： 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 的图象在区间上是“上升”的 的图象在区间上是“下降”的 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 3、单调性与单调区间： 如果函数在区间上是单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性。区间叫做函数的单调区间。 4、要点诠释： （1）单调区间是函数定义域的子集： ①这个区间可以是整个定义域：如在整个定义域上是单调递增的，在整个定义域上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质。 ②这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如函数在整个定义域上不具有单调性，但是在（，）上是单调递减，在（1，）上单调递增，这时单调性是函数的一个局部性质。 （2）函数单调性定义中的有三个特征： ①任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换。 ②是有大小，通常规定。③是同属一个单调区间。三者缺一不可。 （3）有的函数无单调性： 如，，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。 （4）函数单调区间的写法： 一个函数在不同区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接。 5、常见函数的单调性： ①一次函数：，时，在上单调递增；时，在上单调递减。 ②反比例函数：，时，单调递减区间是（，）和（，）； 时，单调递增区间是（，）和（，）。 ③二次函数：，时，单调减（，]，单调增[，）； 时，单调递减区间是[，），单调增区间是（，]。 6、函数的最大（小）值： 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有；。 （2），使得。 那么，我们称是函数的最大值。 几何意义：函数的最大（小）值对应其图象上最高（低）点的纵坐标。 7、最值： 函数的最大值和最小值统称为函数的最值，函数的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标。不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则不是函数的最值。 8、利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数在区间[，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，那么函数，[，]在处有最大值。 ②如果函数在区间[，]上单调递减，在区间[，]上单调递增，那么函数，[，]在处有最小值。 9、对增（减）函数定义的等价形式的探究： 设函数的定义域为，区间⊆，记。则： ①函数在区间上单调递增的充要条件是：都有。 ②函数在区间上单调递减的充要条件是：都有。 单调递增。单调递减。 10、定义法判断函数的单调性： ①取值：设，是区间上的任意两个实数值，且。 ②作差变形：作差，并通常利用因式分解、配方等方法，向有利于判断差的正负的方向变形。 ③定号，下结论：判断的正负，当符号不确定时，可以进行分类讨论，再确定差的符号 ，最后根据定义得出结论。 11、单调函数的运算性质： 若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： （1）与（为常数）具有相同的单调性。 （2）为常数，当时，与具有相同的单调性； 当时，与具有相反的单调性。 （3）若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性。 （4）若，则与具有相同的单调性。 （5）在，的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 （6）当，在区间上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则在区间上也是单调递增（减）的；若两者都恒小于零，则是在区间上是单调递减（增）。 当，都是增（减）函数时，不一定是单调递增（减）的。 如，，则在上不是单调递增（减）的。 12、复合函数的单调性： 可简记为“同增异减”，即当内层函数与外层函数的单调性相同时是增函数，单调性相反时是减函数。 若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定。若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数的个数有奇数个，则这个复合函数为减函数。 13、抽象函数的单调性： 抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题，一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。解法灵活，因此它对发展同学们的抽象思维，培养同学们的创新思想有