2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第 1 课时　初中知识衔接：一元二次函数与方程 逐点清(一)　解一元二次方程 [多维度理解] 一元二次方程的解法 配方法 解法步骤：(1)化二次项系数为1； (2)移项：把常数项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方的形式； (4)解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝ 因式分解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A·B＝0的形式，则可将原方程化为两个一次方程，即A＝0或B＝0，从而得方程的两根 [细微点练明] 1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为(　 ) A．5 B．－5 C．11 D．－11 解析：选A　由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．关于x的方程x2－4x＋7＝0的根是(　 ) A．x1＝2＋，x2＝2－ B．x1＝－2＋，x2＝－2－ C．无实数根 D．x1＝2＋，x2＝2－ 答案：C 3．下列有两个不相等的实数根的方程是(　 ) A．x2＋1＝0　　　　　 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0 答案：D 4．按指定的方法解方程： (1)(x＋9)2－25＝0(直接开平方法)； (2)x2－6x－16＝0(配方法)； (3)3x(x－1)＝2(x－1)(因式分解法)； (4)2x2－7x＋2＝0(公式法)． 解：(1)方程变形得(x＋9)2＝25，开方得x＋9＝5或x＋9＝－5，解得x1＝－4，x2＝－14. (2)方程变形得x2－6x＝16，配方得x2－6x＋9＝25，即(x－3)2＝25， 开方得x－3＝5或x－3＝－5，解得x1＝8，x2＝－2. (3)方程变形得3x(x－1)－2(x－1)＝0，因式分解得(3x－2)(x－1)＝0， 解得x1＝，x2＝1. (4)由题意，知a＝2，b＝－7，c＝2. ∵Δ＝49－16＝33，∴x＝. 逐点清(二)　一元二次方程根与系数的关系 [多维度理解] 如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 微点助解 求一元二次方程的根需注意 (1)首先要把方程变成一般形式． (2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0. (3)注意a，b，c应包含各自的符号． (4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别． [细微点练明] 1．关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是(　 ) A．两个不等的实数根 B．两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 解析：选C　∵x2＋x＋1＝0，∴Δ＝12－4×1×1＝－3<0，∴该方程无实数根． 2．若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝(－1)2－4k≥0，解得k≤且k≠0. 3．已知方程x2－4x＋1＝0的两根为x1和x2，则x12＋x22＝________. 解析：方程x2－4x＋1＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－2＝14. 答案：14 4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0， 解得m≥－，∴m的最小整数值为－2. (2)根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2. ∵(x1－x2)2＋m2＝21， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2 ＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21. 整理得m2＋4m－12＝0， 解得m1＝2，m2＝－6. ∵m≥－，∴m的值为2. 逐点清(三)　一元二次函数与图象 [多维度理解] 一元二次函数的图象、方程的根与判别式Δ的关系 Δ>0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标 Δ＝0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标 Δ<0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点 [细微点练明]