1.4.2 充要条件（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第 2 课时充分、必要、充要条件的综合(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.本节重点关注判定充分必要条件问题及利用已知关系探求参数的取值范围问题． 2．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明，解题关键是分清命题的条件与结论，分清充分性和必要性这两个问题． 题型(一)　充分、必要条件的判定 [典例]　 判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1) 已知x∈R，p：x>1，q：x>2； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [解]　(1)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分条件．反之，若x>2，则必有x>1，所以p是q的必要条件. 故p是q的必要不充分条件． 法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，则BA，所以p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除， q：a能被3整除，不一定能被6整除，故p是q的充分不必要条件． (3)由题意，知p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件． (4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． [方法技巧] 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 定义法 直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假 集合法 利用集合的包含关系判断 传递法 充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 [针对训练] 指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 题型(二)　利用充分条件、必要条件求参数 [典例]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)， 若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. [解]　设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． [变式拓展] 1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB. 所以 或解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：若p是q的充要条件，则此方程组无解，故不存在实数m，使得p是q的充要条件． [方法技巧]　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件 获解 解不等式，得参数范围 [针对训练] 已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以即所以－1≤a≤5. 答案：{a|－1≤a≤5} 题型(三)　充要条件的证明 [典例]　 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [证明]　充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根) 因为ac＜0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根． 设两根为x1，x2，则x1x2＝＜0， 所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2， 则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [方法技巧] 1．充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q” 充分性 把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p