课时跟踪检测13 基本不等式的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

4 / 5 课时跟踪检测（十三） 基本不等式的应用 A级——综合提能 1．下列各式中最小值为2的是(　 ) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) 解析：选B　对于A，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于B，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于C，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；对于D，y＝t＋＋1≥3. 2．函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　 ) A．1＋ B．2 C．3 D．4 解析：选B　y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立． 3．函数y＝3x2＋的最小值是(　 ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D. 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　 ) A．4 B．2 C．8 D．16 解析：选B　由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立． 5．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为(　 ) A．2 B．4 C．4 D．16 解析：选A　因为(＋)2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2·≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最大值为2. 6．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 答案：　 7．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 答案：32 8．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy， 所以＋＝1. 所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝时，即x＝4，y＝2时，等号成立． 又x＋2y>m恒成立，所以m<8. 答案：{m|m<8} 9．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，即ab≥，当且仅当a＝b时，等号成立． ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴a2＋b2的最小值为1. (2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab.∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3， 即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0. ∵a，b为正实数，∴ab＝1. 10．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数． 解：设＋＝1，a，b∈N*， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋2×3＝16， 当且仅当＝，即b＝3a时，等号成立． 又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12. 这两个数分别是4,12. B级——应用创新 1．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A. B．1 C．2 D．6 解析：选C　设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4.该直角三角形周长为a＋b＋c≤4＋2.故这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2. 2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为__________． 解析：(1＋x)(1＋2y)≤2＝2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立． 答案：9 3．设自变量x对应的因变量为y