课时跟踪检测12 基本不等式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

4 / 4 课时跟踪检测（十二） 基本不等式 A级——综合提能 1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　 ) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 解析：选ACD　根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　 ) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 解析：选A　∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，∴a＋2b≤a＋b2＋1.∴t≤s. 3．下列不等式中正确的是(　 ) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：选D　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误； 若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确． 4．(多选)设a，b∈R，且a≠b, a＋b＝2，则必有(　 ) A．ab>1 B．ab<1 C.<1 D.>1 解析：选BD　由基本不等式可得ab≤2, a≠b，所以ab<1, 又1＝＝<＝(a2＋b2)，所以(a2＋b2)>1，所以 ab<1<(a2＋b2) ，所以A不符合题意，B正确，C不符合题意，D正确，故选B、D. 5．设M＝3，N＝n3＋＋6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为(　 ) A．M≥N B．M>N C．M≤N D．不能确定 解析：选A　M－N＝3－n3－－6＝n3＋＋＋3n－n3－－6＝3－6，∵n>0，∴n＋≥2＝2，当且仅当n＝1时，等号成立，∴3－6≥0，∴M≥N. 6．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________． 解析：由基本不等式可知②④正确． 答案：2 7．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是__________. 解析：当x>2时，＋(x－2)≥2＝6，等号成立的条件是 ＝x－2，即(x－2)2＝9，解得x＝5(x＝－1舍去)． 答案：x＝5 8．已知a＞b＞c，则 与的大小关系为________________． 解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立． 答案：≤ 9．已知a，b，c都是非负实数，试比较 ＋＋与(a＋b＋c)的大小． 解：由≤ ，得 ≥(a＋b)． 同理得 ≥(b＋c), ≥(a＋c)． 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)． 故＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 10．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥，≥，≥.∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c>＋＋. B级——应用创新 1．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b(0<a<b)．为便于调控生产，分别将＝1，＝，＝中x(x>0)的值记为A，G，H并进行分析．则A，G，H的大小关系为(　 ) A．H<G<A B．G<H<A C．A<G<H D．A<H<G 解析：选A　由＝1得x－a＝b－x，解得x＝，即A＝；由＝得x2－ax＝ab－ax，解得x＝，即G＝；由＝得bx－ab＝ab－ax，解得x＝，即H＝≤＝.又≥，∴≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．∴H<G<A. 2．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A．a＋b＋≥2 B.2≤ C.≥ D．(a＋b)≥4 解析：选ABD　因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A一定成立．由作差比较法，－＝≥0，可知2≤，故B一定成立．因为a＋b≥2 >0, 所以≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D一定成立． 3．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.∵a，b，c为正数，∴＋≥2，当且仅当a＝b时，等号成立； ＋≥2，当且仅当a＝c时，等号成立； ＋≥2，当且仅当b＝c时，等号成立． 从而＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 4．基本不等式≥(a>0，b>0)可以推广成基本不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为 ≥≥≥(a>0，b>0)． (1)证明不等式≥； (2)上面给出的基本不等式链是二元形式，其中≥(a>0，b>0)指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想． 证明：(1)由题意可知，a>0，b>0