专题10 手拉手与半角六大经典题型-2023-2024学年九年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

专题10 手拉手与半角六大经典题型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、等腰三角形类手拉手 1．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，，，，，则的值为 ． 2．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC． （1）求证：BE＝AD； （2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想） 3．如图①，，，，相交于点M，连接．    (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 二、等边三角形类手拉手 4．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 5．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 三、等腰直角三角形类手拉手 6．已知：等腰和等腰中，，，． （1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ； （2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积． 7．问题发现：如图1，在中，，D为边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为； (1)探究证明：如图2，在和，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接． ①则线段，，之间满足的等量关系式为　 　； ②求证：； (2)拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 8．【问题探究】 (1)如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使，，，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由． (2)如图2，四边形ABCD中，，，，求BD的长． (3)如图3，在（2）的条件下，当在线段AC的左侧时，求BD的长． 四、正方形类手拉手 9．如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H． (1)如图1，当点G在上时，求证：； (2)将正方形绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，判断的数量关系并证明； ②当时，若，请直接写出线段的长． 10．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ； （2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长． 五、手拉手与半角的融合。 11．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：． 12．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 六、垂美四边形—新定义类手拉手 13．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． (1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______． (2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明． (3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长． 试卷