同步学案5.3 导数在研究函数中的应用-【学易优】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

选择性必修第二册·数学(RJ) §5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 目 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性， 能？.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单测区间： 目标一 函数的单调性与导数的关系 [探究导思] [梳理导学] 【问题1】观察下面高台跳水的运动轨迹以及 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x): 点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状 f(x)的正负 f(x)的单调性 态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ f(x)>0 单调递 f(x)<0 单调递 0h)=-4.9r+4.8+11 0=-9.8+4.8 【注意点】--- (1)在某个区间上恒有f(x)=0,f(x)是常 函数 (2)原函数的图象只看增（减）的变化，导函 数的图象只看正（负）变化· [典题导练] 【例1】利用导数判断下列函数的单调性： )f(x)=3r-r+2x-5:(2)f)= 【问题2】观察下面几个图象，探究函数的单 调性和导数的正负的关系。 x-1-nx(3)f(x)=x-e(x>0). ·78· 第五章一元函数的导数及其应用 【总结导通】------ (2)f(x)=In(x>e). 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数 的定义域；求导数f(x);确定f(x)在定义 域内的符号，在此过程中，需要对导函数进 行通分、因式分解等变形；得出结论： 【跟踪训练1】利用导数判断下列函数的单 调性： )fx)=x2-2a+anxa>2）月 目标二利用导数求函数的单调区间 【例2】求下列函数的单调区间. 【总结导通】 (1)f(x)=3.x2-2lnx; 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (2)f(x)=2x3+3.x2-36x+1. (1)确定函数y=f(x)的定义域。 (2)求出导数f(x)的零点. (3)用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为 若干个区间，列表给出(x)在各区间上的 正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的 单调性。 或(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数y=∫(x). (3)解不等式(x)>0,函数在解集与定义 域的交集上单调递增. (4)解不等式f(x)<0,函数在解集与定义 域的交集上单调递减. ·79 选择性必修第二册·数学(RJ) 【跟踪训练2】求下列函数的单调区间. (2)fx)=x+是 (1)f(x)=x2·e; 目标三由导数的信息画函数的大致图象 【例3】已知导函数∫(x)的下列信息：当x< 【总结导通】------- 0或x>7时，f(x)>0:当0<x<7时， 由导函数图象画原函数图象的依据：根据 (.x)<0:当x=0或x=7时，(x)=0,试 f(x)>0,则f(x)单调递增，f(x)<0,则 画出函数f(x)的大致图象. f(x)单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x) 单调递增，则f(x)的图象一定在x轴的上方； 若f(x)单调递减，则f(x)的图象一定在x轴 的下方：若f(x)是常函数，则f(x)=0. 【跟踪训练3】(1)已知f(x) =f'x) 的导函数f(x)的图象 如图所示，那么f(x)的 图象最有可能是图中的 01 (2)若函数y=f(x)的图 象如图所示，则y=f(x) 的图象可能是 ( ·80 第五章一元函数的导数及其应用 随堂评价测案 1.已知f(x)在R上是可 A.在（一2,1）上，f(x)单调递增 导函数，∫(x)的图象如 B.在(1,2)上，f(x)单调递增 图所示，则不等式(x) 7-2-1 C.在(4,5)上，f(x)单调递增 >0的解集为 () D.在（一3，-2）上，f(x)单调递增 A.(-2,0)U(2,+∞) B.(-o∞，-2)U(2,+o∞) 3.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)> C.(-o,-1)U(1,+∞) f(x),则当a>0时，f(a)与e“f(0)的大小 D.(-2,-1)U(1,2) 关系为 2.(多选)如图是函数y=f(x)的导函数f(x) A.fa)<e“f(0) B.f(a)>e"f(O) 的图象，则下列判断正确的是 C.f(a)=e"f(0) D.不能确定 4.函数f(x)=x十2cosx,x∈(0，π)的单调递 减区间是 湿馨 提示 请做课时作业（二十四）P17 专题提升课 函数的单调性的综合问题 !目标1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系. 导能2.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围. 提升一求含参数的函数的单调区间 【例1】讨论函数f)=ar+一(a+D (2)划分函数的单调区间时，要在