第17讲 相似三角形常见模型之平行相似-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第17讲 相似三角形常见模型之平行相似 【知识点睛】 · A字图及其变型“斜A型” 当DE∥BC时 △ADE∽△ABC 性质： 当∠ADE=∠ACB时 △ADE∽△ACB 性质： 变型 ☆：斜A型在圆中的应用： 如图可得：△PAB∽△PCD ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线， 矩形面积达到最大值！ · 8字图及其变型“蝴蝶型”当∠A=∠C时 △AJB∽△CJD 性质： 当AB∥CD时 △AOB∽△DOC 性质： 变型 ☆：“蝴蝶型”常见应用 1. 常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用 2. 出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度” ☆：A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型 常见“∥”的引入方式： 1. 直接给出平行的已知条件 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行 3. 由很多中点构造的“中位线”的平行 4. 根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线 【类题训练】 1．已知，在▱ABCD中，E是BC边上的点，AE与BD相交于点F．若BE：EC＝3：2，则△ABF的面积与△ADF的面积之比为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC分别交AG，HG于点M，N，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG的面积为S，△GDF的面积为9S，则阴影部分的面积为（　　） A．20S B．21S C．22S D．24S 5．如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝8，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE交CD于点F，则CF＝　 　． 6．如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 7．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 8．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是AD的中点，FG∥DE，若BC+FG＝15，则DE的长为 　 　． 10．如图所示的网格是由边长为1的小正方形组成，△ABC和△DEF的顶点均在格点上，BC、EF交于点G，BC、DF交于点H． （1）请写出图中与△CFG相似的三角形：　 　 （2）GB的长是 　　． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于点E，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝m，GH＝n． ​（1）∠DCN＝　 　． （2）线段CN的长为 　 　．（用含m，n的代数式表示） 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝3，BC＝4，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为 　 　． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若BE＝1，∠EAF＝45°，则AG的长为 　　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F，若⊙O的半径为4，AD＝3，则CF的长是 　　． 15． 研究任务 画出平分直角三角形面积的一条直线 研究成果 中线法 分割法 等积法 BD是AC边上的中线 若，则 DE∥BF 成果应用 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积． ①若