难关必刷04圆的综合题（2种解题模型专练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

难关必刷04圆的综合题（2种解题模型专练） 【模型梳理】 题型一：四点共圆模型 中考中经常会利用四点共圆来导角，如果知道某个角的大小，我们就可以说明边与边的大小关系，或者我们就可以利用导角来证明某些三角形是等腰三角形。这样不需要繁杂的几何辅助线，也不需要证明全等，就能得到答案，让同学们真正能够做到高效解题. 题型二：垂径定理 垂经定理是中考必考的一个知识点.命题老师可以在选择题，填空题、解答题任何一个位置出有关重经定理的题，作为学生，如果看到弦的问题，首先要想的是有没有用到重经定理，是否需要作弦的垂线段，怎么去计算，有了这个基本意识，解题效率会大大提高. 【题型专练】 题型一：四点共圆模型 1．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆． （1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． （2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长． 2．（2022秋•建湖县期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角． （1）若∠DAE＝75°，则∠DAC＝　　°； （2）过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明； （3）若AB＝6、AE＝2，求BD2﹣AD2的值． 3．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． （1）在图1、2中，取AC的中点O，根据 　 　得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆； （2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得 　 　＝180°，所以∠BED＝　 　，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F． 求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） （4）如图7，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上． 题型二：垂径定理 1．（2022秋•大丰区期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D． （1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度数； （2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半径长； 2．（2022秋•上城区校级期中）已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD． （1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM． （2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，＝＝α°，AE交CD于点F，连接AD、DE． ①求∠E的度数（用含α的代数式表示）． ②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积． 3．（2022秋•梁溪区校级期中）关于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“顾神方程”：　 　； （2）求证：关于x的“顾神方程”ax2+cx+b＝0必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为6的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程ax2+6x+b＝0是“顾神方程”，请直接写出∠BAC的度数． 4．（2022秋•桐乡市期中）[概念引入] 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． [概念理解] （1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 　 　． （2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON． [概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长． 5．（2022秋•闽清县校级期中）如图1，AB是⊙O的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，连接BC交⊙O于点D，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）过D作DF⊥AB，交⊙O于点F，直线AC交⊙