专题13解直角三角形及其应用（2个知识点4种题型4种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题13解直角三角形及其应用（2个知识点4种题型4种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.解直角三角形的定义（重点） 知识点2.解直角三角形在实际问题中的应用（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.对解直角三角形各种类型的考查 题型2.解直角三角形在求图形面积中的应用 题型3.解直角三角形的实际应用 题型4.分类讨论思想在解直角三角形中的运用 【方法三】 仿真实战法 考法1. 解直角三角形 考法2. 解直角三角形的应用 考法3. 解直角三角形的应用——仰角俯角问题 考法4. 解直角三角形的应用——方向角问题 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 理解解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的方法，并能根据已知条件选择正确的方法解直角三角形。 2. 理解坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、水平长度、铅直高度、方向角等测量中的有关概念，会用解直角三角形的有关知识解决生活中的实际问题。 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.解直角三角形的定义（重点） （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2.解直角三角形在实际问题中的应用（重点） 1.仰角、俯角 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 2.方向角 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 3.坡度、坡角 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 4.解直角三角形综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【方法二】实例探索法 题型1.对解直角三角形各种类型的考查 【例1】中，，AB = 4，AC = ，BC = ______，= ______． 【变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a＝1，． 解这个直角三角形． 【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B=60°，a＝4，解这个直角三角形． 【变式】在中，已知，，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（，，，）． 【例3】如图，中，，BC = 3，AC = 4，以B为圆心，4为半径作圆弧交AC边于点F，交AB于点E，连接CE，求的正切值． A B C E F 【变式1】如图，四边形ABCD中，，，，，AB = 2a，求BC的长． A B C D 【变式2】如图，在中，，AC = 2，AB = 4，，求． A B C D 【变式3】在中，已知D为AB中点，，ACCD，求sin A的值． A B C D 【变式4】在中，，AC = BC，AD是BC上的中线，求与的值． 【变式5】在四边形ABCD中，AB = 8，BC = 1，，，四边形ABCD的面积为，求AD的长． A B C D 【变式6】在中，，D是AC边上的一点，且， AD = 2CD． 求证：∽．（提示：）．