专题12锐角的三角函数（5个知识点9种题型4个易错点2种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题12锐角的三角函数（5个知识点9种题型2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.正切的定义（重点） 知识点2.坡度和坡角的定义（重点） 知识点3.正弦、余弦的定义（重点） 知识点4. 30°，45°，60°角的三角函数值（重点） 知识点5.互为余角的锐角三角函数之间的关系（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.求锐角三角函数值 题型2.锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合 题型3.坡度的应用 题型4.特殊角的三角函数值的计算 题型5.三角函数间关系的运用 题型6.利用锐角三角函数的增减性判断角的取值范围 题型7利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型8.利用锐角三角函数解决几何问题 题型9.动点问题 【方法三】 仿真实战法 考法1.锐角三角函数的定义 考法2.特殊角的三角函数值 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 掌握正切、正弦、余弦的定义，并能根据它们的定义求一个锐角的正切、正弦和余弦的值。 2. 理解坡度、破角的定义，并能利用它们解决相关问题。 3. 能够由所给数据求出锐角三角函数值。 4.熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确地加以运用。 5.掌握互余两角的正、余弦之间的关系，并利用这一性质进行有关计算。 6.会利用计算器求锐角的三角函数值，或根据三角函数值求出相应的锐角。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.正切的定义（重点） 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． 知识点2.坡度和坡角的定义（重点） （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点3.正弦、余弦的定义（重点） 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． 知识点4. 30°，45°，60°角的三角函数值（重点） （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点5.互为余角的锐角三角函数之间的关系（难点） 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 【方法二】实例探索法 题型1.求锐角三角函数值 1．（2023•镜湖区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2021秋•萧县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2021秋•安徽月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 题型2.锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合 4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（    ）    A．1 B． C． D．2 5．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，已知的三个顶点均在格点上，则_____． 6．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 　 ． 7．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的