第08讲 指数与指数函数-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第08讲 指数与指数函数 【人教A版2019】 ·模块一 指数幂运算 ·模块二 指数函数 ·模块三 指数型复合函数 ·模块四 课后作业 模块一 指数幂运算 1．指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 2．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 3．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 【考点1 指数幂运算化简问题】 【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【例1.2】（2023秋·高一课时练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·江苏·高一专题练习）化简 得（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023秋·高一课前预习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 指数式的给条件求值问题】 【例2.1】（2023·山东·校联考模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【变式2.1】（2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 模块二 指数函数 1．指数函数的概念 (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1; ②底数a是大于0且不等于1的常数. 2．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 【考点3 指数函数图象——底数比较大小】 【例3.1】（2023秋·高一课时练习）如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（    ） A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 【例3.2】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）指数函数与的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B．