4.1.1 数列的概念（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1.1 数列的概念 教学设计 1、 课时教学内容 学习数列的概念与表示，数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系。 2、 课时教学目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 3、 教学重点、难点 1. 重点：数列的有关概念与数列的表示方法、数列的通项公式. 2. 难点：数列的函数特征，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 (一)章引言的教学 引导语：这一阶段我们将学习一个新的内容——数列，请大家跟随老师的问题来了解数列的内容与学习方法.在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例. 例如，一棵树在某一时刻的高度为2m,如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来，就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况. 问题1：你能举出几个类似的用按顺序排成一列的数来研究变化规律的事例吗？ 【师生活动】学生举例，教师通过学生的答案，判断他们对数列的已有认知情况. 【设计意图】通过事例让学生感知，将数据按确定顺序排成一列进行研究有其实际的意义和价值. 问题2：对数列的研究，既有实际需求，也有数学本身的需求.章头图沙滩上的图形，显示了古希腊毕达哥拉斯学派用小石子摆出的三角形数、正方形数和五边形数.你能分别将表示三角形数、正方形数和五边形数的点数按顺序排成一列写下来吗？你能用一个式子表示这些数吗？ 【师生活动】让学生在写的过程中体会，数列学习的一个重要内容是求数列的通项，而归纳的方法是常用的方法.教师可以结合学生的回答提醒学生，数列的通项公式及归纳的方法是这一章的重要内容和思想方法. 【设计意图】使学生感知数列有实际和数学自身两方面的需求，同时引出本章的学习内容与方法. 问题3：上述树的高度、小石子的个数问题是否能用函数关系来刻画？为什么？ 【师生活动】学生可能从表格表达的是函数的角度来解释，如能从对应关系上解释更好，但这里主要是让学生体会数列是特殊的函数. 教师可进一步对章头语作如下介绍： 通过上述问题我们可以知道，研究数列有着实际的需求，数列与函数有着一定的联系.在函数学习中我们先学习函数的概念和性质，然后研究一些基本初等函数.与函数类似，在数列的学习中，-我们将学习数列的概念及表示法，研究通项公式(类似函数的解析式)，并研究两类典型的数列模型——等差数列和等比数列.通过对这两类数列的研究，我们将学习数列的研究方法，还将把其他数列转化为等差数列、等比数列，并利用这两类数列的性质解决问题. 当然数列也有别于函数，有其特殊的研究内容，如相邻两项之间的关系、求和问题等，这些也是数列重 要的研究内容.在数列的学习过程中，我们常用归纳的方法得出一些结论，但并没有给出严格的数学证明，因此在本章最后，我们将介绍一种证明与正整数有关的命题的方法——“数学归纳法”. 【设计意图】让学生从具体问题中感知数列与函数的联系.通过教师的介绍，让学生对本章将要学习的内容及处理问题的方法有大致的了解，发挥章引言的“先行组织者”的作用. 对数列的研究源于现实生产、生活的需要．例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数．人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程．像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列．如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数．数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要． 引导语：从前面的介绍中，我们对数列已经有了一个大致的了解，那么究竟什么是数列呢?我们将通过例子来归纳数列的共性，研究该怎样定义、表示数列. 环节二 观察分析，感知概念 先看教科书上的两个例子： 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如： 1．王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．① 记王芳第岁时的身高为，那么，，，． 我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置．所以，①是