专题07 圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题07.圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型 模型1、内切圆模型 【模型解读】 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 【常见模型及结论】 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。 例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为 ．（结果用含的式子表示） 例2．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（    ） A．36° B．48° C．60° D．72° 例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．    例4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为 ．    例5．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 例6．（2023·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 例7．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 例8．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（  ） A． B． C． D． 模型2、多边形的外接圆模型 【模型解读】 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 【常见模型及结论】 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 图1 图2 图3 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 例1．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）△ABC中，∠A＝80°，点M是△ABC的外心，点N是△ABC的内心，连接BM，CM，BN，CN，则∠BMC与∠BNC的差为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 例2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 例4．（2022春·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则 ． 例5．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长． 例6．（2023湖北省荆门市九年级上期中）如图，、、、是上的四个