专题2.6有理数新定义运算问题大题培优专练-2023-2024学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】

2023-2024学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】 专题2.6有理数新定义运算问题大题培优专练 班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________ 一．解答题（共30小题） 1．（2023秋•民权县月考）“⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b＝2a+3b． （1）求5⊙6的值； （2）求4⊙（5⊙3）的值． 2．（2022秋•沭阳县校级月考）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“△”：当a≥b时，a△b＝b2；当a＜b时，a△b＝2a﹣b． 例如：1△2＝2×1﹣2；3△（﹣2）＝（﹣2）2＝4． （1）求（﹣3）△（﹣4）的值； （2）求（﹣2△3）△（﹣8）． 3．（2023春•诏安县校级期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4． （1）填空：T（2，64）＝　 　；T（，27）＝　 　； （2）若T（4，a）＝2，T（b，8）＝3，求T（b，a）的值； （3）探索T（2，3），T（2，7）与T（2，21）之间的关系，并说明理由． 4．（2023春•定远县期中）对于等式an＝b，若知道a和n求b，则称为乘方运算；若知道b和n求a，则称为开方运算．现新定义：对于等式an＝b中，知道a和b求n，且规定n＝L（a，b）．如：24＝16，则有：L（2，16）＝4． （1）根据上述规定，填空： ①L（3，81）＝　 　； ②L（2，0.25）＝　 　； （2）计算：L； （3）探索L（2，3）•L（3，5）与L（2，5）的大小关系，并说明理由． 5．（2023•五河县一模）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1． （1）求（﹣3）*（﹣2）的值； （2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值． 6．（2022秋•渠县期末）对于任意四个有理数x，y，m，n，我们给它一个规定：（x，y）☆（m，n）＝2x+m﹣yn，例如：（4，2）☆（5，6）＝2×4+5﹣2×6＝1请根据上述规定的运算解决下列问题： （1）计算：（2，﹣2）☆（3，4）； （2）计算：（﹣2，﹣3）☆（3，4）﹣（2，﹣12）☆（﹣3，﹣4）； （3）若有理数（3x﹣2，）☆（2，x﹣1）﹣（1，2）☆（3，4）＝7，求x的值． 7．（2021秋•宜春期末）定义新运算“⊕”与“⊗”：a⊕b，a⊗b． （1）计算[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]的值； （2）若A＝[3b⊕（﹣a）]+[a⊗（2﹣3b）]，B＝[a⊕（﹣3b）]+[（﹣a）⊗（﹣2﹣9b）]，比较A和B的大小． 8．（2021秋•临江市期末）若“△”表示一种新运算，规定a△b＝a×b﹣（a+b）． （1）计算：（﹣4）△（﹣5）； （2）已知（﹣2）△（1+x）＝﹣x+6，求x的值． 9．（2022秋•昆山市校级月考）现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1． （1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6）； （2）新定义的运算满足交换律吗？试以（﹣4）⊗3和3⊗（﹣4）举例说明． 10．（2022春•东台市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　 　，（﹣2，4）＝　 　，（，﹣8）＝　 　； （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c． （3）拓展应用：计算（10，2）+（10，5）． 11．（2022秋•孝南区期中）对于有理数a，b，我们定义一种新运算，规定“※”是一种数学运算符号，a※b＝ab2﹣a．例如：1※2＝1×22﹣1＝3． （1）求2※的值． （2）求（﹣3）※[1※（﹣2）]的值． 12．（2022秋•惠阳区校级月考）若“三角”表示运算a﹣b+c，“方框”表示运算x﹣y+z+w． 请根据以上式子，回答下列问题． （1）的值是 　 　； （2）的值是 　 　； （3）求×表示的运算，并计算结果． 13．（2022秋•南乐县月考）定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，a*b＝4a（a+b），如2*3＝4×2×（2+3）． （1）求3*（﹣2）的值； （2）求（﹣3）*（5*2）的值． 14．（2022秋•镇原县期中）规定一种新的运算：a☆b＝ab﹣b2.例如3☆2＝3×2﹣22＝2．请利用上述规律计算下列各式： （1）1☆5； （2）（﹣5）