专题07 圆中的重要模型-四点共圆模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题07.圆中的重要模型--四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD， 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　． 例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 例3．（2023·陕西·九年级期中）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A．68° B．88° C．90° D．112° 例4．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图所示中，，，分别在边和上，且，，垂足分别为，，求的长. 模型2、定边对双直角共圆模型 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。 例1．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则的值是 ． 例2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________． 例3．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 模型3、定边对定角共圆模型 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆. 例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 例2．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________． 例3．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在