期中复习01 空间向量的线性运算-2023-2024学年高二数学上学期期末专项复习（人教A版2019选择性必修第一册）

期中复习专题01：空间向量运算解析版 考点一：空间向量的概念 【知识点梳理】 1.在空间，有方向有长度上的量；向量的大小叫做向量的模. 2.常见的空间向量：零向量、单位向量、共线向量、平行向量. 3.零向量：方向任意，长度为零的向量.规定向量与任何向量共线. 【典例例题】 例1.【多选】（2023春·广东惠州·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．若，则 C．若，满足，且，同向，则 D．对于任意向量，，必有 【变式训练】 1.（2023·高二期中模拟）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 考点二：空间向量的线性运算 【知识点梳理】 1、 空间向量的加法运算：（1）三角形法则：首尾相连，（2）平行四边形法则：同起点，两个向量为领边作平行四边形，夹对角线. 2、 空间向量的减法运算：三角形法则，同起点、连接终点、方向指向被减向量. 3、空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 4、共线向量，共面向量 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【典例例题】 例1.（2022·湖北·高二高中联考）已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例2.（2022·湖北省级示范高中期中）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ） A. B. C. D. 【变式训练】 1.（2022·湖北省鄂东南省级示范高中期中）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. （2022·湖北省黄冈市高中期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 3. （2022·湖北省黄冈市国际高中期中）如图，在平行六面体中，点在面对角线上,满足,点为面对角线的中点,若,,,则（ ） A. B. C. D. 4. （2022·东莞市光明中学期中）在三棱柱中，E是棱的三等分点，且，F是棱的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5.（2022·东莞市光明中学期中）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基 B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 C. 已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面 D. 已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基 6. （2022·佛山市荣山中学期中）若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（ ） A. P∈直线AB B. P∉直线AB C. 点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D. 以上都不对 考点三：空间向量的数量积运算 【知识点梳理】 1.空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|