专题10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 图2 8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】 如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数； （3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）． 模型2、“A”字模型 结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。 例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C； 应用上面模型解决问题： (1)如图（2），“五角星”形，求？ 分析： 图中是“A”型图，于是，所以=   ； (2)如图（3），“七角星”形，求； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ； 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 例4．（20