专题08 函数与方程（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 函数与方程 考点一、函数的零点 1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解． 2.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解． 注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． 4.若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 考点二、二分法 1.对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)、确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)、求区间(a，b)的中点C． (3)、计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈ (a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C． (4)、判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 考点三、函数模型 1.函数模型应用的两个方面 (1)、利用已知函数模型解决问题． (2)、建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． 2.用函数模型解决实际问题的步骤 (1)、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)、建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)、求模：求解函数模型，得到数学结论． (4)、还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 3.数据拟合 (1)、定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2、数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验 重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间 例1.（1）、（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【变式训练1-2】．（2023秋·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数 例2．（1）、（2023秋·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）、（2023·全国·高一专题练习）方程解的个数为 . 【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2-2】．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数是 . 重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围 例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）、（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】