热点专题02 二次函数（11个热点）-2023-2024学年九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题02二次函数（11个热点） 考点一、二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 考点二、二次函数解析式 （1）一般式：（是常数，） （2）顶点式：（是常数，），其中为顶点坐标 （3）交点式： (是抛物线与轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根 )。 考点三、与之间的关系 函数平移到的两种方法： ①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）； ②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）； 考点四、二次函数的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 考点五、二次函数图象与轴的交点情况 判别式 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数的图象 抛物线与轴的交点 ， 没有交点 考点六、二次函数与实际问题 解决此类问题的基本思路: （1）理解问题;（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; （3）利用公式或者关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围; （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值; （5）检验结果的合理性。 注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 题型一 二次函数的定义 【例1】下列各式中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】当 时，是关于x的二次函数． 【变式1-1】下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数为开口向上的抛物线，则 ． 【变式1-3】已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 题型二 求二次函数解析式 【例3】下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ． x … 0 1 3 … y … 0 3 4 0 … 【例4】已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的表达式． 【变式2-1】抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ． 【变式2-2】已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值，求二次函数的解析式． 【变式2-3】二次函数过点，，三点，求的值． 题型三 二次函数图象上点的坐标特征 【例5】已知点在抛物线上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例6】、、是抛物线上三点，，，的大小关系为 ． 【变式3-1】若二次函数，当时，随的增大而减小，则应该满足（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，，为二次函数图象上三点，则，，的大小关系为 ．（用 “>”号表示） 题型四 二次函数的几何变换 【例7】将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【例8】抛物线可由如何平移得到（    ） A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位 【变式4-1】将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【变式4-2】若抛物线平移得到，则必须（    ） A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 【变式4-3】把的图象向上平移个单位，向左平移个单位    (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 题型五 一次函数与二次函数图象 【例9】在同一坐标系内，函数和的图象大致如