特训01 集合与常用逻辑用语 压轴题-2023-2024学年高一数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训01 集合与常用逻辑用语 压轴题 一、解答题 1．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 2．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 3．已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 4．设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集； (2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若，求证：. 5．已知数集．如果对任意的，与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集，是否具有性质，并说明理由； (2)设数集具有性质P．若，证明：对任意都有是的因数． 6．设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 7．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 8．若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 9．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 10．对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合. （1）若，求； （2）若集合，证明：的充要条件是. 11．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. （I）若，，，求； （II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由； （III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值. 12．已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合，且，写出一个满足条件的集合，并说明理由； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 13．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； 提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和. ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 14．已知集合 （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足不等式的的值. 15．符号表示不大于的最大整数（）,例如： （1）已知，分别求两方程的解集； （2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围. （3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 16．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 17．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 18．设集合为非空数集，定义，、，，、． (1)若，，写出集合、； (2)若，，，，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 19．设集合，其中. （1）写出集合中的所有元素； （2）设，证明“”的充要条件是“” （3）设集合，设，使得