湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题

雅礼中学2023年下学期高二10月检测试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知a，b为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若a⊥α，a⊥b，则b//α B. 若a//α，a⊥b，则b⊥α C. 若a//α，b//α，则a//b D. 若a⊥α，a//b，则b⊥α 5. 在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 17 6. 已知则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域均为，且为偶函数，函数满足，对于，均有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分. 9. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 10. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为12 B. C. 时，过山车距离地平面40m D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 11. 已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线方程为 C. 线段的长为 D. 圆上点，圆上点，的最大值为 12. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上. 13. 已知直线：与：平行，则实数a的值为_____. 14. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围________． 15. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 16. 若圆与圆外切，则的最大值为________________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 中，角A，B，C所对边分别为. 已知. （1）求的值； （2）求的面积. 18. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数； （2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求. 19. 已知圆：. （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值. 20. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段DO上一点. （1）若 ，求三棱锥P-ABC的体积. （2）当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大. 21 已知函数已知函数， （1）若的解集，求实数的取值范围； （2）若在区间内有两个零点，求实数的取值范围． 22. 在平面直角坐标系xOy中，过