课时作业(十二)夹角问题（课时作业）-【学易优】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业(十二) 夹角问题 [基础达标] 1.若异面直线l1的方向向量与l2 的方向向量的夹 角为5π 6 ,则l1与l2所成的角为 ( ) A.π6 B. 5π 6 C.π6 或5π 6 D. 以上均不对 2.两异面直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与 v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则 ( ) A.α=θ B.α=π-θ C.cosθ=|cosα| D.cosα=|cosθ| 3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与AN 所成角的余弦值为 ( ) A.110 B. 2 5 C.3010 D. 2 2 4.已知正方形ABCD 所在平面外一点P,PA⊥平 面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD 的夹角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如 图 所 示,在 长 方 体 ABCD- A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1 =1,则BC1 与平面BB1D1D 所 成角的正弦值为 ( ) A.63 B. 2 5 5 C.55 D. 10 5 6.(多选)直线l的方向向量为a,两个平面α,β的法向 量分别为n,m,则下列命题为真命题的是 ( ) A.若a⊥n,则直线l∥平面α B.若a∥n,则直线l⊥平面α C.若cos<a,n>=12 ,则直线l与平面α 所成角的 大小为π 6 D.若cos<m,n>= 32 ,则平面α,β夹角的大小为 π 6 7.如 图,PA⊥平 面 ABC,∠ACB=90°且 PA= AC=BC,则此三棱锥四个面中直角三角形的个 数为 ,异面直线PB 与AC 所成角的正 切值等于 . 8.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0) 及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),如果平面α与平 面Oxy 的夹角为45°,则a= . 9.如图所示,在四面体ABCD 中,CA=CB=CD= BD=2,AB=AD= 2.求异面直线AB 与CD 所 成角的余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·131· 姓名: 班级: 学号: {#{QQABSQQEoggoQBJAAAhCQwkiCAKQkACCAIoOgBAMIAAAgRFABAA=}#} 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正 方形,PA⊥平面ABCD,E为PD 上的动点. (1)确定点E的位置,使PB∥平面AEC; (2)设PA=AB=1,且在第(1)问的结论下,求 平面AEC与平面ADE 夹角的余弦值. [能力提升] 11.如图,已知矩形ABCD 与矩形 ABEF 全等,平面 ABD 与平 面ABE 的 夹 角 为90°,M 为 AB 的中点,FM 与BD 所成的 角为θ,且cosθ= 39 ,则AB BC 等于 ( ) A.1 B.2 C.22 D. 1 2 12.如图所示,M,N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点,DE⊥AB 于E,现 将△ADE 沿 DE 折 起,使平面ADE 与平面BDE 的夹角为45°,此 时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B,则M, N 的连线与AE 所成的角的大小为 ( ) A.45° B.90° C.135° D.150° 13.如图,在三棱锥V-ABC 中,顶点C 在空间直角 坐标系的原点处,顶点 A,B,V 分别在x 轴、y 轴、z轴上,D 是线段AB 的中点,且AC=BC= 2,∠VDC=π3 ,则异面直线AC与VD 所成角的 余弦值为 . 14.如图,在正方形ABCD 中,EF∥AB,若沿EF 将 正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD= 1∶1∶ 2,则 AF 与CE 所 成 角 的 余 弦 值 为 . [创新应用] 15.已知几何体 EFG-ABCD,如图 所 示,其 中 四 边 形 ABCD, CDGF,ADGE 均 为 正 方 形,且 边长均为1,点 M 在棱DG 上. (1)求证:BM⊥EF; (2)是否存在点 M,使得直线 MB 与平面BEF 所成的角为45°? 若存在,确定点 M 的位置;若 不存在,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·231· 选择性必修第一册·数学(RJ)