课时作业(三)空间向量的数量积运算（课时作业）-【学易优】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业(三) 空间向量的数量积运算 [基础达标] 1.在正四面体A-BCD 中,点E,F 分别是AC,AD 的中点,则BC → 与EF → 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知空间四边形OABC 中,OB=OC,∠AOB= ∠AOC=π3 ,则cos<OA →,BC →>的值为 ( ) A.12 B. 2 2 C.-12 D.0 3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD- A1B1C1D1 的 所 有 棱 长 都 为 1,且 ∠A1AD = ∠A1AB=60°,∠DAB=45°,则BD1等于 ( ) A.3-1 B.2-1 C.3- 2 D.3- 2 4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D 中,四边形ABFE,CDEF 都是边长 为1的正方形,则B,D 两点间的距 离是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.3- 2 5.如 图 所 示,三 棱 锥 O-ABC 中,M,N 分别是 AB,OC 的 中点,设OA → =a,OB → =b,OC → =c,用a,b,c表 示NM →,则 NM → = ( ) A.12 (-a+b+c) B.12 (a+b-c) C.12 (a-b+c) D.12 (-a-b+c) 6.若a,b 为空间夹角是60°的两个单位向量,则 |a-b|= . 7.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|= . 8.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b 垂直,则<a,b>= . 9.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1 =2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的 中点,试计算: (1)BC →·ED1 →; (2)BF →·AB1 →; (3)EF →·FC1 → . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·311· 姓名: 班级: 学号: {#{QQABYQ4EogAIQABAAAhCUwFSCgKQkACCCIoOgAAEMAAAgQFABAA=}#} 10.如图所示,在空间四面体OABC中,OA,OB,OC 两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E 为OA 的 中点,F为BC 的中点,试求E,F间的距离. [能力提升] 11.(多选)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列命 题正确的是 ( ) A.(AA1 → +AD → +AB →)2=3AB →2 B.A1C →·(A1B1 → -A1A →)=0 C.AD1 → 与A1B → 的夹角为60° D.正方体的体积为|AB →·AA1 →·AD → | 12.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四 棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底 面上其余的八个点,则AB →·APi →(i=1,2,…,8) 的不同值的个数为 ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 13.在四面体OABC 中,棱OA,OB,OC 两两垂直, 且OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的重心, 则OG →·(OA → +OB → +OC →)= . 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动 点P 在线段BD1 上运动,则DC →·AP → 的取值范 围是 . [创新应用] 15.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:CC1⊥BD; (2)当 CDCC1 的 值 为 多 少 时,能 使 A1C⊥ 平 面 C1BD? 请给出证明. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·411· 选择性必修第一册·数学(RJ) {#{QQABYQ4EogAIQABAAAhCUwFSCgKQkACCCIoOgAAEMAAAgQFABAA=}#} ②当k≠-1时,可得 λ 1= m -k-1= n k , 得m=(-k-1)λ,n=kλ; 由此可得λ+m+n=λ+(-k-1)λ+kλ=0, 综上所述,λ+m+n=0. 答案:0 15.解:如图,连接BG. 因为AB→=PB→-PA→,AB→=DC→, 所以DC→=PB→-PA→. 因为PC→=PD→+DC→, 所以PC→=PD→+PB→-PA→ =-PA→+PB→+PD→. 因为PH HC