第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲） 题型目录一览 ①圆的方程 ②点与圆的位置关系 ③与圆有关的轨迹问题 ④直线与圆相交 ⑤直线与圆相切、相离 一、知识点梳理 一、圆的基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 二、圆的基本性质、定理与公式 1．圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 2．点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 三、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 四、直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由，消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 【常用结论】 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解 ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 二、题型分类精讲 题型一 圆的方程 策略方法 求圆的方程的两种方法 【典例1】已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（    ）. A．，且 B．，且 C．，且， D．，且， 8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形的面积为（    ）． A．6 B．12 C．14 D．18 9．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（    ） A．3 B． C． D．4 二、填空题 10．（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆的面积为，则 ． 11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆的半径为3，则 . 12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点，且与直线相切的圆的标准方程，为 ． 13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为 . 14．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆的圆心重合，且过点的圆的方程为 ． 15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 16．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线与两坐标轴的交点及点的圆的方程为 ． 题型二 点与圆的位置关系 策略方法 判断集合关系的三种方法 在处理点与圆的位置关系问