3.2 函数与方程、不等式之间的关系6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

3.2 函数与方程、不等式之间的关系6种常见考法归类 1、函数的零点 （1）函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． （2）函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 注：(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点).如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． 2、一元二次不等式与对应函数、方程 三个“二次”之间的关系 从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合． 从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”． 因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根(x1＜x2) 有两个相等的实数根(x1＝x2＝－) 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注：(1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． (2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 注：(1)一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y＝的图像不是连续不断的． (2)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可． (3)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0. (4)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 4、二分法 （1）二分法的概念 对于图像在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值 先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 注：即用区间中点将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间和，其中一个区间一定包含零点．如果f＞0，f(a)＜0，我们便认为区间包含零点，如下图所示： 不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 注：(1)我们把x