专题07 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）（考点归纳与十二大题型）-2023-2024学年高一数学章节复习与专题突破讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题07 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 【题型归纳目录】 题型一：函数单调性区间与判断 题型二：函数单调性的证明 题型三：利用函数单调性比较大小，求不等式 题型四：利用函数单调性求最值 题型五：利用函数单调性求求参数 题型六：函数奇偶性的判断与证明 题型七：利用函数的奇偶性求值 题型八：用奇偶性求解析式 题型九：函数的周期性 题型十：函数图像的分析与运用 题型十一：函数的性质综合 题型十二：恒成立与有解问题 【考点归纳】 考点1：函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 要点诠释： ①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. 2．证明函数单调性的步骤 （1）取值：设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号：判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论. 3．函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。 （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。 （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。 （4）记住几条常用的结论 ① 若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ② 若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； ③ 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 4．复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数。 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【小技巧】复合函数单调性可简记为“同增异减”。因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数。 要点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性。 （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数。 6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值。 （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值。 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值。 （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是。 （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是。 7．利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解。 （1）在上恒成立在上的最大值。 （2）在上恒成立在上的最小值。 【注意】实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题。 考点2：基本初等函数的单调性 1．正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 2．一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. 4．二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 考点3：函数的最值 1．最大值 （1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有；②，使得. 那么，称M是函数的最大值． （2）几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值